Решение задач на отношение треугольников

2.5. Задачи на подобие

Два треугольника подобны: по двум углам, по двум сторонам и углу между ними, по трём сторонам. Очень важно в задаче увидеть подобные треугольники или другие подобные фигуры. Для этого нужна хорошая практика решения задач.

При решении задач на прямоугольный треугольник полезно знать, что высота, проведённая из прямого угла, делит его на два подобных треугольника (рис. 180):

?ABD ?ADC ?ABC.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс 2.5. Задачи на подобие.

Рис. 180.

Примеры решения задач.

111. Через точки М и К, принадлежащие сторонам АВ и ВС треугольника ABC соответственно, проведена прямая МК, параллельная стороне АС. Найдите длину СК, если ВС = 12, МК = 8 и АС = 18 (рис. 181). (1)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс 2.5. Задачи на подобие. Примеры решения задач

Рис. 181.

Решение. Обозначим КС через х. Тогда ВК = 12 – х. Из подобия треугольников ABC и МВК следует: MK/BK = AC/BC; 8/(12 – х) = 18/12; х = 20/3.

Ответ: 20/3.

112. В прямоугольный равнобедренный треугольник вписан прямоугольник так, что угол прямоугольника совпадает с углом при вершине треугольника, а вершина противолежащего угла лежит на гипотенузе. Докажите, что периметр прямоугольника есть величина постоянная для данного треугольника (рис. 182). (1)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс 2.5. Задачи на подобие. Примеры решения задач

Рис. 182.

Решение. Пусть АВ = АС = а, DE = х; AD = у. Тогда DB = а – у; FC = а – х. Треугольник DEB подобен треугольнику FСЕ, значит, DE/DB = FC/FE; х/(а – у) = (а – х)/у; ху2= а2– ау – ах + ху; х + у = а; РАDЕF = 2(х + у) = 2а, т. е. не зависит от х и у.

113. В прямоугольном треугольнике ABC угол А – прямой. Опущена высота AD, равная ?5. Найдите произведение BD ? DC (рис. 183). (1)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс 2.5. Задачи на подобие. Примеры решения задач

Рис. 183.

Решение. Треугольники ADB и ADC подобны (?BAD = ?ACD, ?ABD = ?DAC). Значит, BD/AD = AD/DC; BD ? DC = AD2= (?5)2= 5.

Ответ: 5.

114. В треугольнике ABC проведены высоты AD и СЕ. Докажите, что треугольники ABC и DBE подобны. Чему равен коэффициент подобия (рис. 184)? (2)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс 2.5. Задачи на подобие. Примеры решения задач

Рис. 184.

Решение. Из прямоугольного треугольника ВСЕ: BE = ВС ? cos В. Из ?ABD: BD = АВ ? cos В. Значит, две стороны BD и BE треугольника BDE пропорциональны сторонам АВ и ВС треугольника ABC, а угол В (угол между пропорциональными сторонами) у треугольников общий. ?BDE ?ABC по двум сторонам и углу между ними.

Значит,

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс 2.5. Задачи на подобие. Примеры решения задач

Ответ: кподобия = cos В.

115. В равносторонний треугольник вписана окружность. Этой окружности и сторон треугольника касаются три малые окружности. Найдите сторону треугольника, если радиус малой окружности равен 1 (рис. 185). (2)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс 2.5. Задачи на подобие. Примеры решения задач

Рис. 185.

Решение. Так как в равностороннем треугольнике ABC угол ABC = 60°, то ?ОВМ = 30° (см. рис.). Из центров О и О1 проведем перпендикуляры ОМ и О1Т к стороне ВС. По условию О1Т и О1К равны 1. Длины отрезков ОМ и ОК обозначим через R. Из треугольника ВТО1 следует, что ВО1 = О1Т/sin 30° = 1/0,5 = 2. Треугольники ВТО1 и ВМО подобны по двум углам (?BTO1 = ?BMO = 90°; ?OBM – общий). Отсюда следует, что O1T/O1B = OM/OB;

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс 2.5. Задачи на подобие. Примеры решения задач

Теперь мы знаем радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности. Осталось найти длину его стороны. Из треугольника ВОМ следует ВМ = OM ? ctg ?ОВМ = 3?3. Тогда ВС = 2ВМ = 6?3.

Ответ: 6?3.

116. Из одной точки к окружности проведены две касательные. Длина каждой касательной равна 12 см, а расстояние между точками касания 14,4 см. Определите радиус окружности (рис. 186). (2)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс 2.5. Задачи на подобие. Примеры решения задач

Рис. 186.

Решение. Пусть ОА и ОВ – касательные к окружности с центром С; А и В – точки касания. Тогда СВ ? ОВ, СА ? ОА. Кроме того, ОС ? АВ и делит эту сторону пополам. ОА = 12 см, AM = 1/2 АВ = 7,2 см.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс 2.5. Задачи на подобие. Примеры решения задач

?МОА = ?АОС (углы с взаимноперпендикулярными сторонами), значит, ?ОАС подобен ?ОАМ; тогда.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс 2.5. Задачи на подобие. Примеры решения задач

Ответ: 9 см.

117. Центр О окружности радиуса длиной 3 лежит на гипотенузе АС прямоугольного треугольника ABC. Катеты треугольника касаются окружности. Найти площадь треугольника ABC, если известно, что длина отрезка ОС равна 5 (рис. 187). (3)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс 2.5. Задачи на подобие. Примеры решения задач

Рис. 187.

Решение. Пусть ABC – данный в условии задачи треугольник. Обозначим через М и N точки касания окружности соответственно со сторонами АВ и ВС. Соединив эти точки с центром О окружности, получим квадрат MBNO, и поэтому BN = ОМ = 3. Треугольник ONC прямоугольный, в нём ОС = 5, ON = 3. Следовательно,

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс 2.5. Задачи на подобие. Примеры решения задач

Но тогда ВС = NC + NB = 7. Треугольники ONC и ABC подобны, поэтому AB/ON = BC/NC; AB/3 = 7/4; отсюда получаем, что AB = (ON ? BC)/NC = (3 ? 7)/4 = 21/4. Теперь находим S – площадь прямоугольного треугольника ABC:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс 2.5. Задачи на подобие. Примеры решения задач

Ответ: 147/8.

Задачи для самостоятельного решения.

118. В равнобедренный треугольник вписан параллелограмм так, что угол параллелограмма совпадает с углом при вершине треугольника, а вершина противолежащего угла лежит на основании. Докажите, что периметр параллелограмма есть величина постоянная для данного треугольника. (1)

119. Из точки D, лежащей на катете АС прямоугольного треугольника ABC, на гипотенузу СВ опущен перпендикуляр DE. Найдите длину CD, если СВ = 15, АВ = 9, СЕ = 4. (1)

120. Точка на гипотенузе, равноудаленная от обоих катетов, делит гипотенузу на отрезки длиной 30 и 40 см. Найдите катеты треугольника. (1)

121. В параллелограмме ABCD проведена диагональ BD и отрезок AF (F ? ВС), пересекающий BD в точке О. Известно, что ВО = 6, OD = 18, FB = 4. Определите сторону параллелограмма AD. (1)

122. В острый угол, равный 60°, вписаны две окружности, извне касающиеся друг друга. Радиус меньшей окружности равен 1. Найдите радиус большей окружности. (1)

123. Найдите длину стороны квадрата, вписанного в равнобедренный треугольник с основанием а и боковой стороной в так, что две его вершины лежат на основании, а две другие вершины – на боковых сторонах. (2)

124. В параллелограмме ABCD точка М– середина стороны СВ, N – середина стороны CD. Докажите, что прямые AM и AN делят диагональ BD на три равные части. (2)

125. В трапеции, основания которой равны а и в, через точку пересечения диагоналей проведена прямая, параллельная основаниям. Найдите длину отрезка этой прямой, отсекаемого боковыми сторонами трапеции. (2)

126. В остроугольном треугольнике ABC из вершин А и С на стороны ВС и АВ опущены высоты АР и CQ. Известно, что площадь треугольника ABC равна 18, площадь треугольника BPQ равна 2, а длина отрезка PQ равна 2?2. Вычислите радиус окружности, описанной около треугольника ABC. (3)

2.6. Задачи на вписанные и описанные четырёхугольники

Если в четырёхугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны.

Если около четырёхугольника можно описать окружность, то суммы противоположных углов равны 180°.

Примеры решения задач.

127. Известно, что в трапецию ABCD с основаниями AD и ВС можно вписать окружность и около неё можно описать окружность, EF – её средняя линия. Известно, что АВ + CD + EF = 18. Найдите периметр трапеции (рис. 188). (1)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс 2.6. Задачи на вписанные и описанные четырёхугольники. Примеры решения задач

Рис. 188.

Решение. Так как в трапецию можно вписать окружность, то.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс 2.6. Задачи на вписанные и описанные четырёхугольники. Примеры решения задач

Поскольку около трапеции можно описать окружность, то АВ = CD. Пусть АВ = CD = а; тогда из (1) следует AD + ВС = 2а и.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс 2.6. Задачи на вписанные и описанные четырёхугольники. Примеры решения задач

По условию АВ + CD + EF = 18; тогда с учетом (2) получаем: а + а + а = 18; а = 6. Периметр трапеции PABCD = АВ + CD + AD + BC = 2(АВ + CD) = Ча = 24.

Ответ: 24.

128. Около окружности с диаметром 15 см описана равнобедренная трапеция с боковой стороной, равной 17 см. Найдите основания трапеции (рис. 189). (2)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс 2.6. Задачи на вписанные и описанные четырёхугольники. Примеры решения задач

Рис. 189.

Решение. Очевидно, что высота трапеции равна диаметру окружности. Высота ВК = 15 см; из прямоугольного треугольника АВК.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс 2.6. Задачи на вписанные и описанные четырёхугольники. Примеры решения задач

Пусть ВС = х, тогда AD = 8 + х + 8 = х + 16. Так как в трапецию вписана окружность, то AD + ВС = АВ + CD; х + 16 + х = 17 + 17; х = 9 см; AD = 9 + 16 = 25 см.

Ответ: 9 см; 25 см.

Задачи для самостоятельного решения.

129. Четырёхугольник ABCD описан около окружности с центром О. Найдите сумму углов АОВ и COD. (1)

130. Определите площадь круга, вписанного в прямоугольную трапецию с основаниями а и в. (2)

131. Длины боковых сторон трапеции равны 3 и 5. Известно, что в трапецию можно вписать окружность. Средняя линия трапеции делит её на две части, отношение площадей которых равно 5/11. Найдите длины оснований трапеции. (3)

2.7. Задачи на вписанные углы

Вписанный в окружность угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Примеры решения задач.

132. Найдите ?ТОК, если О – центр окружности и ?ТЕК = 120° (рис. 190).(1)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс 2.7. Задачи на вписанные углы. Примеры решения задач

Рис. 190.

Решение. Так как вписанный угол ТЕК равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу, то.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс 2.7. Задачи на вписанные углы. Примеры решения задач

Ответ: 120°

133. Дан правильный 30-угольник А1А2 ... АЗО с центром О. Найдите угол между прямыми ОАЗ и А1АЧ (рис. 191). (2)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс 2.7. Задачи на вписанные углы. Примеры решения задач

Рис. 191.

Решение. Так как многоугольник А1А2 ... A30 – правильный, то ?АЗОАЧ = 360°/30 = 12°. Далее, ?АЗА1АЧ = 1/2 ?АЗОАЧ = 6° (вписанный угол, опирающийся на дугу АЗАЧ). ?А1ОАЗ = 2 ? 12° = 24°;

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс 2.7. Задачи на вписанные углы. Примеры решения задач

Требуемый нам угол х является внешним углом к треугольнику АЗА1В. Так как внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов, с ним не смежных, то х = 6° + 78° = 84°.

Ответ: 84°.

134. В окружность вписан четырёхугольник ABCD, диагонали которого взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке Е. Прямая, проходящая через точку Е и перпендикулярная к АВ, пересекает сторону CD в точке М. Доказать, что ЕМ – медиана треугольника CED, и найти её длину, если AD = 8 см, АВ = 4 см и ?CDB = ? (рис. 192). (3)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс 2.7. Задачи на вписанные углы. Примеры решения задач

Рис. 192.

Решение. Обозначим через К точку пересечения прямых АВ и ЕМ. Поскольку углы CDB и CAB опираются на одну и ту же дугу ВС, то ?CAB = ?CDB = ?. Из равенств ?DCE + CDB = ?/2, ?КЕА + ?САВ = ?/2, следует, что ?DCE = ?КЕА = ?СЕМ. Но это означает, что треугольник СЕМ равнобедренный, т. е. СМ = ЕМ. Далее, ?MED = ?/2 – ?СЕМ = ?/2 – (?/2 – ?) = ?CDB.

Итак, треугольник EMD равнобедренный, или DM = ЕМ. Этим доказано, что СМ = DM или что ЕМ – медиана треугольника CED.

Из прямоугольного треугольника ABE находим.

АЕ = АВ ? cos?ЕАВ = АВ ? cos?CAB = 4 ? cos ?.

Далее, из прямоугольного треугольника AED по теореме Пифагора получаем.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс 2.7. Задачи на вписанные углы. Примеры решения задач

и, наконец,

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс 2.7. Задачи на вписанные углы. Примеры решения задач

Ответ:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс 2.7. Задачи на вписанные углы. Примеры решения задач

Задачи для самостоятельного решения.

135. Окружности с центрами О и О1 касаются внутренним образом. Найдите угол В (рис. 193). (1)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс 2.7. Задачи на вписанные углы. Задачи для самостоятельного решения

Рис. 193.

136. Точка находится внутри круга радиуса 6 и делит проходящую через неё хорду на отрезки длиной 5 и 4. Найдите расстояние от точки до окружности. (2)

137. а) Докажите, что.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс 2.7. Задачи на вписанные углы. Задачи для самостоятельного решения

(рис. 194);

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс 2.7. Задачи на вписанные углы. Задачи для самостоятельного решения

Рис. 194.

б) докажите, что.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс 2.7. Задачи на вписанные углы. Задачи для самостоятельного решения

(рис. 195). (3)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс 2.7. Задачи на вписанные углы. Задачи для самостоятельного решения

Рис. 195.

138. Диагональ BD четырёхугольника ABCD является диаметром окружности, описанной около этого четырёхугольника. Вычислить длину диагонали АС, если BD = 2, AB = 1, ?ABD:?DBC = 4:3. (3)

2.8. Задачи на пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности

Напомним свойства хорд и секущих (рис. 196).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс 2.8. Задачи на пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности.

Рис. 196.

Для обоих случаев ОА ? ОВ = ОС ? OD.

В частности, если А совпадает с В (ОА – касательная), то ОА2= ОС ? OD.

Примеры решения задач.

139. Дано (рис. 197):

ОА = 4, АВ = 3, CD = 2. Найдите ОС. (1)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс 2.8. Задачи на пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности. Примеры решения задач

Рис. 197.

Решение. Пусть ОС = х, тогда ОА ? ОВ = ОС ? OD; 4 ? 7 = х(х + 2);

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс 2.8. Задачи на пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности. Примеры решения задач

Ответ:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс 2.8. Задачи на пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности. Примеры решения задач

140. Стороны прямоугольника равны а и в. На стороне а, как на диаметре, построена окружность. На какие отрезки окружность делит диагональ прямоугольника (рис. 198)? (2)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс 2.8. Задачи на пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности. Примеры решения задач

Рис. 198.

Решение. Из точки С проведена секущая СА и касательная CD к окружности. По известному свойству имеем: СР ? СА = CD 2;

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс 2.8. Задачи на пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности. Примеры решения задач

Ответ:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс 2.8. Задачи на пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности. Примеры решения задач

Задача для самостоятельного решения.

141. ОА – касательная; ОВ = 4; ВС = 3. Найдите длину ОА (рис. 199). (1)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс 2.8. Задачи на пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности. Задача для самостоятельного решения

Рис. 199.

2.9. Задачи на использование дополнительных построений, вспомогательных фигур и геометрических преобразований

Задачи с использованием геометрических преобразований, дополнительных построений и вспомогательных фигур достаточно редки в современных школьных учебниках, но именно в этих задачах, на наш взгляд, проявляется красота геометрии. Это не случайно, ведь благодаря проведенной «лишней» линии, осуществленному повороту, построению симметричной фигуры или вспомогательной окружности даже очень сложная задача может решиться «в одну строчку». За примерами далеко ходить не надо.

Примеры решения задач.

142. Найдите длину окружности, описанной около трапеции, стороны которой равны а, а, а и 2а (рис. 200). (1)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс 2.9. Задачи на использование дополнительных построений, вспомогательных фигур и геометрических преобразований. Примеры решения задач

Рис. 200.

Решение. Легко видеть, что трапецию ABCD можно достроить до правильного шестиугольника (см. рис.), но у правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен стороне шестиугольника: Rокр = а. Длина окружности l = 2?Rокр = 2?а.

Ответ: 2?а.

143. Основания трапеции равны 4 см и 9 см, а диагонали равны 5 см и 12 см. Найти площадь трапеции и угол между её диагоналями (рис. 201). (2)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс 2.9. Задачи на использование дополнительных построений, вспомогательных фигур и геометрических преобразований. Примеры решения задач

Рис. 201.

Решение. Пусть ABCD – данная трапеция, CD = 4 см, АВ = 9 см, BD = 5 см и АС = 12 см. Чтобы известные элементы включить в один треугольник, перенесём диагональ BD на вектор DC в положение СВ'. Рассмотрим треугольник АСВ'. Так как ВВ'CD – параллелограмм, то В'С = 5 см, АВ' = АВ + ВВ' = АВ + CD = 13 см. Теперь известны все три стороны треугольника АВ'С. Так как АС2+ В'С2= (АВ')2= 52+ 122= 132, то треугольник АВ'С – прямоугольный, причем ?АСВ' = 90°. Отсюда непосредственно следует, что угол между диагоналями трапеции, равный углу АСВ', составляет 90°. Площадь трапеции, как и всякого четырёхугольника, равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними. Отсюда площадь равна 1/2AC ? BD ? sin 90° = 1/2 ? 12 ? 5 ? 1 = 30 см2.

Ответ: 30 см2, 90°.

144. Основание АВ трапеции ABCD вдвое длиннее основания CD и вдвое длиннее боковой стороны AD. Длина диагонали АС равна а, а длина боковой стороны ВС равна в. Найти площадь трапеции (рис. 202). (3)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс 2.9. Задачи на использование дополнительных построений, вспомогательных фигур и геометрических преобразований. Примеры решения задач

Рис. 202.

Решение. Пусть АВ = 2с, тогда CD = AD = с. Продолжим боковые стороны ВС и AD до пересечения их в точке Е. Получим треугольник ВАЕ. Так как CD = 1/2АВ, то CD – средняя линия треугольника ABE. Отсюда получаем, что СЕ = ВС = в и DE = AD = с. Получилось, что АВ = АЕ. Следовательно, треугольник ВАЕ равнобедренный и АС – его медиана. Но в равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является высотой, поэтому площадь треугольника ВАЕ можно вычислить так:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс 2.9. Задачи на использование дополнительных построений, вспомогательных фигур и геометрических преобразований. Примеры решения задач

Далее, т. к. треугольники DCE и ABE подобны с коэффициентом подобия к = 1/2, то площадь треугольника DCE равна 1/4 площади треугольника ABE (отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия). Площадь трапеции, таким образом, равна 3/4 площади треугольника ABE, то есть равна 3/Чаь.

4 3 Ответ: 3/Чаь.

145. Внутри равностороннего треугольника ABC дана точка М, такая, что АМ = 1, ВМ = ?3 и СМ = 2. Найти длину АВ (рис. 203). (3)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс 2.9. Задачи на использование дополнительных построений, вспомогательных фигур и геометрических преобразований. Примеры решения задач

Рис. 203.

Решение. Повернём треугольник АСМ вокруг точки С на 60°. Тогда точка А перейдёт в точку В, точка М – в некоторую точку D, треугольник АСМ – в треугольник BCD. При этом CD = СМ и ?MCD = 60°, следовательно, треугольник CDM – равносторонний, а значит, и ?CDM = ?DMC = 60°. С помощью поворота получен вспомогательный треугольник BDM. Заметим, что BD = AM = 1, ВМ = ?3, DM = CM = 2. Значит, треугольник BDM прямоугольный (ведь BM2+ BD2= (?3)2+ 12= DM2), ?DBM = 90° и ?BMD = 30° (противолежащий катет BD равен половине гипотенузы MD). Далее вычислим угол ВМС. ?ВМС = ?BMD + ?DMC = 30° + 60° = 90°. Применив теорему Пифагора к треугольнику ВСМ, найдём, что.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс 2.9. Задачи на использование дополнительных построений, вспомогательных фигур и геометрических преобразований. Примеры решения задач

Ответ: ?7.

Задачи для самостоятельного решения.

146. Доказать, что медиана треугольника меньше полусуммы заключающих ее сторон. (1)

147. Туристы находятся на острове «А». Им надо прибыть на остров «В», – при этом сначала побывав на обоих берегах реки. Каков будет их кратчайший маршрут (рис. 204)? (2)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс 2.9. Задачи на использование дополнительных построений, вспомогательных фигур и геометрических преобразований. Задачи для самостоятельного решения

Рис. 204.

148. Средняя линия трапеции равна 4; отрезок, соединяющий середины оснований, равен 1; углы при основании трапеции равны 40° и 50°. Найдите длины оснований трапеции. (3)

2.10. Задачи, решаемые координатным и векторным методами

Вообще говоря, в данном случае речь идет не о частных идеях решения определенного класса задач, а об универсальных методах решения самых разнообразных геометрических проблем.

Суть метода состоит в том, что для решения задач вводится система координат (прямоугольная или аффинная), пишутся необходимые уравнения прямых, других фигур, по известным формулам находятся длины и углы.

Примеры решения задач.

149. Даны точки А(-2; 1); В(1; 5); С(3; -2); D(6; 2). Является ли четырёхугольник ABCD параллелограммом? Ответ: обоснуйте. (1)

Решение. АВ = (3; 4); CD = (3; 4). Противоположные стороны четырёхугольника, таким образом, равны и параллельны. Значит, ABCD – параллелограмм.

Ответ: ABCD – параллелограмм.

150. В треугольнике ABC точка М – точка пересечения медиан. Выразите вектор AM через вектора АВ и АС (рис. 205). (2)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс 2.10. Задачи, решаемые координатным и векторным методами. Примеры решения задач

Рис. 205.

Решение. Медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, поэтому.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс 2.10. Задачи, решаемые координатным и векторным методами. Примеры решения задач

Задачу можно решить проще, если достроить треугольник ABC до параллелограмма ABDC, тогда AM = 2/3 АК, но АК = 1/2 AD = 1/2 (АВ + АС). Отсюда сразу получаем, что AM = 1/3(АВ + АС).

Ответ: 1/3(АВ + АС).

151. В прямоугольнике ABCD точки М и N – середины сторон АВ и ВС. Точка О – точка пересечения AN и DM. Найдите AO/ON (рис. 206). (2)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс 2.10. Задачи, решаемые координатным и векторным методами. Примеры решения задач

Рис. 206.

Решение. Решим задачу аналитическим путём. Пусть А(0; 0); D (а; 0); В(0; в), тогда М(0; в/2); N(а/2; в). Напишем уравнения прямых AN и MD.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс 2.10. Задачи, решаемые координатным и векторным методами. Примеры решения задач

Точка О будет иметь координаты:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс 2.10. Задачи, решаемые координатным и векторным методами. Примеры решения задачГеометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс 2.10. Задачи, решаемые координатным и векторным методами. Примеры решения задач

Ответ: 2:3.

152. ВМ: МС = 3:1, АК = КВ. Найдите: SAKO/SABC (рис. 207). (3)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс 2.10. Задачи, решаемые координатным и векторным методами. Примеры решения задач

Рис. 207.

Решение. См. задачу 105 (с. 88). Тогда мы решили её, применив теорему о пропорциональных отрезках. Здесь мы применим векторный подход и метод неопределенных коэффициентов.

Пусть ВА = а, ВС = в, АО = х ? AM, КО = у ? КС, тогда АО + ОК = АК, х ? АМ + (-у ? КС) = -1/2а.

Так как AM = AB + ВМ = – ВА + 3/ЧВС = – а + 3/4b и КС = KB + ВС = -1/2ВА + ВС = -1/2а + в, то с учётом этого получаем уравнение: хАМ + (-уКС) = -1/2а или х(-а + 3/4b) – у(-1/2а + в) = -1/2а. Приравнивая к нулю коэффициенты при векторах а и в, стоящих в левой и правой частях уравнения, получим систему:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс 2.10. Задачи, решаемые координатным и векторным методами. Примеры решения задач

х = 4/5, у = 3/5;

Итак,

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс 2.10. Задачи, решаемые координатным и векторным методами. Примеры решения задач

значит,

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс 2.10. Задачи, решаемые координатным и векторным методами. Примеры решения задач

Ответ: 3/10.

153. В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагонали АС и BD пересекаются в точке F. Известно, что AF = CF = 2, BF = 1, DF = 4, ?BFC = ?/3.

Найти косинус угла между векторами АВ и DC (рис. 208). (3)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс 2.10. Задачи, решаемые координатным и векторным методами. Примеры решения задач

Рис. 208.

Решение:

Пусть ? – искомый угол между векторами АВ и DC тогда.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс 2.10. Задачи, решаемые координатным и векторным методами. Примеры решения задач

Пользуясь свойствами скалярного произведения векторов и условиями задачи, вычислим АВ, DC и АВ ? DC. Так как.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс 2.10. Задачи, решаемые координатным и векторным методами. Примеры решения задач

Теперь получаем, что.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс 2.10. Задачи, решаемые координатным и векторным методами. Примеры решения задач

Ответ: 13/14.

Задачи для самостоятельного решения.

154. Найдите геометрическое место точек, равноудалённых от данной прямой и данной точки. (2)

155. Продолжения сторон AD и ВС четырёхугольника ABCD пересекаются в точке Р. Точки М и N – середины сторон АВ и CD. Доказать, что если прямая MN проходит через точку Р, то ABCD – трапеция. (3)

156. Дан равнобедренный треугольник ABC, в котором проведены высота CD и перпендикуляр DE к боковой стороне ВС. Точка М – середина отрезка DE. Доказать, что отрезки АЕ и СМ перпендикулярны. (3)

157. Доказать, что для треугольника ABC и любой точки Р выполняется неравенство:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс 2.10. Задачи, решаемые координатным и векторным методами. Задачи для самостоятельного решения

2.11. Разные задачи

Примеры решения задач.

158. Можно ли утверждать, что треугольники равны по двум сторонам и медиане, проведенной к одной из этих сторон? Ответ: обоснуйте (рис. 209). (1)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс 2.11. Разные задачи. Примеры решения задач

Рис. 209.

Решение. Рассмотрим треугольники ABC и А1В1С1. Пусть AB = A1B1, BC = B1C1,AM = A1M1 (см. рис). Так как ВС = В1С1, то ВМ = В1М1 ?АВМ = ?A1B1M1 (по трём сторонам), значит, ?В = ?B1. В этом случае ?ABC = ?A1B1C1 по двум сторонам и углу между ними.

Ответ: да.

159. Определите острые углы прямоугольного треугольника, если медиана, проведённая к его гипотенузе, делит прямой угол в отношении 2:1 (рис. 210). (1)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс 2.11. Разные задачи. Примеры решения задач

Рис. 210.

Решение. Нарисуем треугольник ABC, где ?ВАС = 3? = 90°. Медиана AD равна длинам BD и CD, так как D – середина гипотенузы, а, значит, является центром описанной около треугольника окружности. Пусть для определённости ?BAD = 2?, ?DAC =?. Очевидно, что 2? + ? = 90°, ? = 30°. Учитывая, что треугольники BDA и DAC – равнобедренные, получаем:?В = 2? = 60°, ?С = ? = 30°.

Ответ: 60°, 30°.

160. Дан произвольный четырёхугольник ABCD. Точки М, N, Р, Q – середины его сторон. Докажите, что MNPQ – параллелограмм (рис. 211). (1)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс 2.11. Разные задачи. Примеры решения задач

Рис. 211.

Решение. Из условия задачи и чертежа видно, что MN – средняя средняя линия ?ABC и QP средняя линия ?ACD. Поэтому MN = 1/2АС и MN||AC; QP = 1/2АС и QP||АС. В итоге получаем, что MN = QP и MN||QP. Поэтому, по признаку параллелограмма четырёхугольник MNPQ – параллелограмм.

161. Диагонали АС и BD трапеции ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что треугольник АОВ и COD имеют одинаковые площади (рис. 212). (2)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс 2.11. Разные задачи. Примеры решения задач

Рис. 212.

Решение. Обозначим через н высоту трапеции. Запишем равенства:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс 2.11. Разные задачи. Примеры решения задач

162. Стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию. Доказать, что радиус окружности, вписанной в треугольник, равен 1/3 высоты, проведённой к средней по величине стороне треугольника. (3)

Решение. Пусть стороны а, в, с треугольника ABC образуют арифметическую прогрессию с разностью d. Будем считать, что а ? в ? с. тогда а = в – d, с = в + d, периметр Р = 2р = 3b.

Воспользуемся формулой r = S/Р, получим r = 2S/3b. А так как S = 1/2bhb, то r = 1/3hb.

Задачи для самостоятельного решения.

163. Диагонали трапеции делят её среднюю линию на три равные части. Как относятся основания этой трапеции? (1)

164. Докажите, что середины сторон равнобокой трапеции являются вершинами ромба. (1)

165. В параллелограмме, смежные стороны которого не равны, проведены биссектрисы четырех углов. Докажите, что при их пересечении образуется прямоугольник. (2)

166. Площадь четырёхугольника равна S. Найдите площадь параллелограмма, стороны которого равны и параллельны диагоналям четырёхугольника. (2)

167. Докажите, что в параллелограмме ABCD расстояния от любой точки диагонали АС до прямых ВС и CD обратно пропорциональны длинам этих сторон. (2)

168. В выпуклом четырёхугольнике длины диагоналей равны одному и двум метрам. Найти площадь четырёхугольника, зная, что длины отрезков, соединяющих середины его противоположных сторон, равны. (1)

§ 1. Экзаменационный комплект № 1 (зачётная работа)

Билет № 1

1. Признаки параллельности прямых (формулировки и примеры).

2. Решение треугольника по стороне и двум углам.

3. Углы ADC и ABC вписаны в окружность, ?ABC = 74°. Найдите градусную меру ?ADC (рис. 213).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Билет № 1.

Рис. 213.

4. Дуги А1В1 и А2В2 равной длины 1 принадлежат разным окружностям с радиусами R1 и R2. Найдите отношение градусных мер центральных углов, соответствующих этим дугам.

Билет № 2

1. Свойство углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой (формулировки и примеры).

2. Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними.

3. В треугольнике ABC отмечены точки D и Е, которые являются серединами сторон АВ и ВС соответственно. Найдите периметр четырёхугольника ADEC, если АВ = 24 см, ВС = 32 см и АС = 44 см.

4. Расстояние от точки А до точек В и С равны 3 см и 14 см соответственно, а расстояния от точки D до точек В и С равны 5 см и 6 см соответственно. Докажите, что точки А, В, С и D лежат на одной прямой.

Билет № 3

1. Третий признак равенства треугольников (формулировки и пример).

2. Теорема об углах, вписанных в окружность.

3. Найдите площадь круга, вписанного в правильный шестиугольник, сторона которого равна 4 см.

4. Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен основаниям трапеции и равен полуразности оснований.

Билет № 4

1. Теорема о сумме углов треугольника (формулировка и пример).

2. Решение треугольника по трём сторонам.

3. В трапеции ABCD с основаниями AD = 12 см и ВС = 8 см проведена средняя линия ML, которая пересекает диагональ АС в точке К. Чему равны отрезки МК и KL?

4. Из одной точки к двум касающимися внешним образом окружностям проведены три касательные, причем одна из них проходит через точку касания окружностей. Докажите, что касательные равны.

Билет № 5

1. Определение синуса острого угла прямоугольного треугольника. Пример его применения для решения прямоугольных треугольников.

2. Свойство углов равнобедренного треугольника.

3. Из точки D, лежащей на катете АС прямоугольного треугольника ABC, опущен на гипотенузу СВ перпендикуляр DE. Найдите отрезок CD, если СВ = 15 см, АВ = 9 см и СЕ = 4 см.

4. Точки К и L – середины сторон AD и ВС параллелограмма ABCD. Докажите, что прямые AL и СК делят диагональ BD на три равные части.

Билет № 6

1. Определение косинуса острого угла прямоугольного треугольника. Пример его применения для решения прямоугольных треугольников.

2. Признак равнобедренного треугольника.

3. Прямая, параллельная основанию равнобедренного треугольника ABC, пересекает боковые стороны АВ и АС в точках М и N. Докажите, что треугольник MAN – равнобедренный.

4. В прямоугольный равнобедренный треугольник вписан прямоугольник так, что угол прямоугольника совпадает с углом при вершине треугольника, а вершина противолежащего угла лежит на гипотенузе. Докажите, что периметр прямоугольника есть величина постоянная для данного треугольника.

Билет № 7

1. Определение тангенса острого угла прямоугольного треугольника. Пример его применения для решения прямоугольных треугольников.

2. Свойство медианы равнобедренного треугольника.

3. В параллелограмме ABCD проведена диагональ BD и отрезок.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Билет № 7.

пересекающий BD в точке О. Известно, что ВО = 6 см, OD = 18 см. Определите сторону параллелограмма AD, если FB = 4 см.

4. Докажите, что в ромб можно вписать окружность.

Билет № 8

1. Теорема косинусов. Пример ее применения для решения треугольников.

2. Окружность, вписанная в треугольник. Теорема о центре окружности, вписанной в треугольник.

3. В треугольниках ADB и AFC: AD = DB, AF = FC. Докажите, что DB||FC (рис. 214).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Билет № 8.

Рис. 214.

4. Докажите, что если диагонали четырёхугольника ABCD взаимно перпендикулярны, то AB2+ CD2= ВС2+ AD 2.

Билет № 9

1. Теорема синусов. Пример её применения для решения треугольников.

2. Окружность, описанная около треугольника. Теорема о центре окружности, описанной около треугольника.

3. Найдите углы равнобедренного треугольника, если внешний угол при основании равен 112°.

4. Углы при основании трапеции равны 60° и 45°, высота трапеции равна 6 см. Найдите боковые стороны трапеции.

Билет № 10

1. Построение с помощью циркуля и линейки треугольника по трем сторонам.

2. Сложение векторов. Свойства сложения векторов.

3. Сумма углов выпуклого многоугольника равна сумме его внешних углов, взятых по одному при каждой вершине. Найдите число сторон этого многоугольника.

4. В прямоугольном треугольнике ABC (?С – прямой) проведена высота CD. Докажите, что если ?СВА = 30°, то АВ: BD = 4:3.

Билет № 11

1. Построение с помощью циркуля и линейки угла, равного данному.

2. Умножение вектора на число. Свойства произведения вектора на число.

3. Радиус окружности равен 7 см. Найдите периметр описанного около нее правильного четырёхугольника.

4. Докажите, что в равностороннем треугольнике расстояние от точки пересечения двух биссектрис до стороны в два раза меньше расстояния от этой же точки до вершины.

Билет № 12

1. Построение с помощью циркуля и линейки биссектрисы угла.

2. Неравенство треугольника.

3. В параллелограмме сумма двух противолежащих углов равна 132°. Найдите градусную меру каждого из этих углов.

4. На диаметре окружности построен равносторонний треугольник. Определите градусную меру дуг, на которые стороны треугольника делят полуокружность.

Билет № 13

1. Построение с помощью циркуля и линейки перпендикулярной прямой.

2. Признаки подобия треугольников (доказательство одного из них).

3. Прямоугольник вписан в окружность радиуса 5 см. Одна из его сторон равна 8 см. Найдите другие стороны прямоугольника.

4. Угол DFG вписан в окружность с центром в точке О. Найдите градусную меру ?DOG, если ?DFG = 150° (рис. 215).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Билет № 13.

Рис. 215.

Билет № 14

1. Деление отрезка пополам с помощью циркуля и линейки.

2. Теорема о средней линии треугольника.

3. Диагонали ромба равны 10 см и 24 см. Найдите стороны ромба.

4. Периметр равностороннего треугольника равен 36 см, а периметр равнобедренного – 40 см. Найдите стороны данных треугольников, если они имеют общее основание.

Билет № 15

1. Свойства параллелограмма (формулировки и примеры).

2. Теорема о внешнем угле треугольника.

3. В треугольнике AEF проведена биссектриса AD угла А, на сторонах угла от его вершины отложены равные отрезки АВ и АС. Докажите равенство треугольников BAD и CAD.

4. Около окружности описана равнобокая трапеция, у которой боковая сторона точкой касания делится на отрезки 4 см и 9 см. Найдите площадь трапеции.

Билет № 16

1. Теорема о средней линии трапеции (формулировка и пример).

2. Теорема о сумме углов выпуклого многоугольника.

3. Даны две концентрические окружности с центром в точке О. АС и BD – диаметры этих окружностей. Докажите, что ?АВО = ?CDO.

4. Один из углов равнобедренного треугольника 120°. Найдите отношение сторон этого треугольника.

Билет № 17

1. Формулы для радиусов вписанных и описанных окружностей правильного n-угольника (формулы и примеры).

2. Свойство диагоналей ромба.

3. BD – медиана равнобедренного треугольника ABC (АВ = ВС). Найдите ее длину, если периметр треугольника ABC равен 50 см, а периметр ?ABD равен 30 см.

4. Точки М, N и Р лежат соответственно на сторонах АВ, ВС и АС треугольника ABC, причем MN||AC, NP||АВ. Найдите стороны четырёхугольника AMNP, если АВ = 16 см, АС = 24 см, PN: MN = 2:3.

Билет № 18

1. Формулы для радиусов вписанных и описанных окружностей правильного треугольника, правильного четырёхугольника, правильного шестиугольника (формулы и примеры).

2. Свойство диагоналей прямоугольника.

3. На сторонах угла Q отложены равные отрезки QR и QP. Через точки R и Р проведена прямая. Определите ?QRP, если ?RPQ = 67°.

4. Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна его основанию.

Билет № 19

1. Формула длины окружности (формула и пример).

2. Первый признак равенства треугольников.

3. Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 5 см.

4. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, у которого все углы равны, если сумма его внешних углов с одним из внутренних равна 468°?

Билет № 20

1. Формулы площади треугольника (формулы и примеры).

2. Признаки параллелограмма.

3. Докажите, что общая хорда двух пересекающихся окружностей перпендикулярна линии центров.

4. Средняя линия описанной около окружности трапеции равна 4. Найдите периметр трапеции.

Билет № 21

1. Формулы площади прямоугольника и параллелограмма (формулы и примеры).

2. Второй признак равенства треугольников.

3. На сколько увеличится или уменьшится длина окружности, если ее радиус увеличить на 10 см.

4. Докажите, что середины сторон равнобокой трапеции являются вершинами ромба.

Билет № 22

1. Формула площади трапеции (формула и пример).

2. Признаки равенства прямоугольных треугольников.

3. Даны точки А (1, -3) и В (2, 0). Найдите такую точку С (х, у), чтобы векторы АВ и СА были равны.

4. Точка касания окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит боковую сторону на отрезки, равные 3 см и 4 см, считая от основания. Найдите периметр треугольника.

Билет № 23

1. Формула площади круга (формула и пример).

2. Теорема Пифагора.

3. Докажите, что центр окружности, описанной около равнобедренного треугольника, лежит на медиане, проведенной к основанию.

4. Найдите геометрическое место середин равных хорд окружности.

§ 2. Экзаменационный комплект № 2 (базовый уровень)

Билет № 1

1. Равенство фигур. Признаки равенства треугольников (доказательство одного из них).

2. Критерий описанного около окружности четырёхугольника (без доказательства).

3. Точка С – середина отрезка АВ. Найдите длину отрезка АС в дециметрах, если АВ = 7 м 58 см.

4. В прямоугольнике ABCD AD = 12 см, CD = 5 см, О – точка пересечения диагоналей. Найдите.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Билет № 1.

5. В треугольнике ABC угол А = углу В = 75°. Найдите ВС, если площадь треугольника равна 36 см2.

Билет № 2

1. Сумма углов треугольника (с доказательством). Вывод формулы суммы углов выпуклого n-угольника.

2. Критерий вписанного в окружность четырёхугольника (без доказательства).

3. Основания трапеции относятся как 2:3, а высота равна 6 см. площадь трапеции 60 см2. Найдите основания трапеции.

4. В прямоугольном треугольнике ABC АВ = 6 см, АС = 8 см. ВС = 10 см. Найдите расстояние:

а) от точки В до прямой АС;

б) от точки С до прямой АВ.

Может ли расстояние от точки А до прямой СВ быть равным 7 см?

5. Точка М принадлежит отрезку РК, причем РМ: МК = 2:1. Найдите координаты точки К, если координаты точек Р и М равны (6; 3) и (14; 9) соответственно.

Билет № 3

1. Геометрическое место центров описанной около треугольника и вписанной в треугольник окружностей (с доказательством).

2. Площадь четырёхугольника (без вывода).

3. Даны треугольник ABC и точка М на отрезке ВС. Выразите:

а) вектор СВ через векторы АС и АВ;

б) вектор МА через векторы ВА и ВМ.

4. В ромбе ABCD, где угол А острый, BE и BF – высоты. Угол между диагональю BD и высотой BF равен 40°:

а) докажите, что BE = BF.

б) найдите углы ромба.

5. В треугольнике ABC точки F и М лежат соответственно на сторонах АВ и ВС, причем CF = AM, а угол MAC = углу FCA. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

Билет № 4

1. Свойства параллелограмма (с доказательством).

2. Геометрическое введение синуса, косинуса, тангенса котангенса. Значения sin, cos, tg, ctg от углов 30°, 45°, 60°.

3. Прямой угол ADB разделен лучом DC на два угла, из которых один больше другого на 8°. Найдите градусные меры этих углов.

4. В равнобедренной трапеции ABCD угол А = 30°, угол ACD = 135°, AD = 20 см, ВС = 10 см:

а) докажите, что АС – биссектриса угла ВАС;

б) найдите периметр трапеции.

5. В треугольнике ABC АВ = 17 см, ВС = 25 см. Высота BD равна 15 см. Найдите площадь треугольника.

Билет № 5

1. Свойства ромба, прямоугольника, квадрата (с доказательством).

2. Уравнение прямой (без вывода). Смысл коэффициента к в уравнении у = kx + в (без обоснования).

3. Периметр треугольника равен 35 см. Найдите отрезки, на которые биссектриса треугольника делит противоположную сторону, если две другие стороны треугольника равны 12 и 16 см.

4. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник со сторонами 20, 20 и 24 см.

5. Как изменится длина окружности, если площадь соответствующего ей круга уменьшится в 441 раз?

Билет № 6

1. Теорема Фалеса (с доказательством).

2. Вектор. Действия над векторами. Базис на плоскости. Теорема о разложении вектора по базису (без доказательства).

3. Дана трапеция ABCD. Постройте фигуру, на которую отображается данная трапеция при центральной симметрии с центром А.

4. В треугольнике ABC CD – медиана. Найдите площадь треугольника BDC, если АС = 10 см, ВС = 20 см и угол АСВ = 135°.

5. На рисунке изображена окружность с центром О, АВ = DE. Докажите, что угол АОЕ равен углу BOD (рис. 216).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Билет № 6.

Рис. 216.

Билет № 7

1. Свойство средней линии треугольника и трапеции (с доказательством).

2. Длина окружности и площадь круга (без вывода).

3. На рис. 217 угол 1 = 67°, угол 2 = 127°, угол 4 = 67°. Найдите угол 3 (рис. 217).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Билет № 7.

Рис. 217.

4. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке О. Найдите х, у, z, если:

а) АС = х ? АО; б) ВО = у ? DB; в) АВ = z ? CD.

5. В треугольнике ABC АВ = ВС, BD – высота. Через середину высоты проведена прямая, пересекающая стороны АВ и ВС в точках Е и F соответственно. Найдите EF, если BD = н, угол ABC = ?, угол BEF = ?.

Билет № 8

1. Теорема Пифагора (с доказательством).

2. Пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности (без вывода).

3. Найдите синус, косинус и тангенс острых углов А и В прямоугольного треугольника ABC, если АВ = 13 см, ВС = 12 см.

4. В прямоугольнике ABCD сторона AD равна 10 см. Расстояние от точки пересечения диагоналей до этой стороны равно 3 см. Найдите площадь прямоугольника.

5. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС серединный перпендикуляр стороны АВ пересекает сторону ВС в точке Р. Найдите угол РАС, если угол ВСА = 65°.

Билет № 9

1. Координаты на плоскости. Расстояние между точками (с выводом).

2. Признаки подобия треугольников (без доказательств).

3. Параллельны ли прямые а и в, изображенные на рисунке (рис. 218).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Билет № 9.

Рис. 218.

4. В прямоугольном треугольнике с углом 30° и меньшим катетом – 6 см проведены средние линии. Найдите периметр треугольника, образованного средними линиями.

5. АВ и АС – касательные к окружности с центром О (С и В – точки касания). Найдите градусную меру меньшей из дуг ВС, если расстояние от центра окружности до точки А равно 8 см, а до хорды ВС – 6 см.

Билет № 10

1. Уравнение фигуры. Уравнение окружности (с выводом).

2. Формула для радиуса вписанной в треугольник окружности (без вывода).

3. Найдите площадь равностороннего треугольника со стороной а = 2.

4. В параллелограмме две стороны равны 2 и 3 см, а один из углов 120°. Найдите длину меньшей диагонали параллелограмма.

5. Стороны треугольника равны 4 и 5, а угол между ними 60°. Найдите высоту н, опущенную на третью сторону треугольника.

Билет № 11

1. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами (с выводом).

2. Формулы для радиуса описанной около треугольника окружности (без вывода).

3. В остроугольном треугольнике ABC высоты АА1 и ВВ1 пересекаются в точке О. Найдите угол ОСА, если угол ВАС = 58°.

4. Длина стороны многоугольника равна 3 м, а длина сходственной стороны подобного ему многоугольника равна 48 дм. Найдите периметры этих многоугольников, если их разность составляет 9 м.

5. На рис. 219 ABCD – прямоугольник, AM = BN = СК = DP. Докажите, что MNKP – параллелограмм.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Билет № 11.

Рис. 219.

Билет № 12

1. Теорема о величине вписанного в окружность угла (с доказательством).

2. Аксиомы, теоремы, определения. Пример аксиом.

3. В треугольнике ABC проведена биссектриса AK. Найдите угол В, если угол С = 33°, угол АКС = 110°.

4. В треугольнике две стороны равны 10 и 12 см, а угол между ними 45°. Найдите площадь треугольника.

5. Точка М лежит на диагонали АС параллелограмма ABCD, а точка Н – на его стороне AD, причем AM: МС = 2:1, АН = HD. Выразите вектор MN через векторы а и р где вектор а равен вектору АВ и вектор р равен вектору AD.

Билет № 13

1. Теорема косинусов (с выводом).

2. Виды движений на плоскости.

3. Стороны параллелограмма равны 8 и 10 см, угол между ними 60°. Найдите площадь параллелограмма.

4. Длина одного отрезка на 1 см больше второго и на 4 см больше третьего. Могут ли эти отрезки быть сторонами треугольника, периметр которого равен 10 см?

5. Каждая из боковых сторон и меньшее основание трапеции равны 5 см, а один из его углов равен 60°. Найдите радиус окружности, описанной около нее.

Билет № 14

1. Теорема синусов (с выводом).

2. Признаки параллельных прямых (без доказательства).

3. Подобны ли два треугольника ABC и А1В1С1, если АС = 14 см, А1В1 = 22 см, В1С1 = 26 см, А1С1 = 28 см, АВ = 11 см, ВС = 13 см.

4. Сторона описанного правильного четырёхугольника на ?3 больше стороны правильного треугольника, вписанного в ту же окружность. Найдите сторону четырёхугольника.

5. Окружность с центром О касается сторон МК, КТ и ТМ треугольника МКТ в точках А, В и С соответственно. Найдите углы треугольника ABC, если угол МКТ = 42°, угол КМТ = 82°.

Билет № 15

1. Многоугольники. Правильные многоугольники. Основные формулы для правильных n-угольников (с выводом).

2. Формула Герона (без вывода).

3. Через вершину А треугольника ABC с прямым углом С проведена прямая AD, параллельная стороне ВС. Найдите угол В треугольника, если угол DAB = 43°.

4. В треугольнике АВС АВ = 15 м, АС = 20 м, ВС = 32 м. На стороне АВ отложен отрезок AD = 9 м, а на стороне АС – отрезок АЕ = 12 м. Найдите DE.

5. Каким должен быть радиус окружности, чтобы ее длина была равна разности длин двух окружностей с радиусами 37 и 15 см?

Билет № 16

1. Касательная к окружности, ее свойство (с доказательством).

2. Формулы площади треугольника и трапеции (без вывода).

3. Один из углов прямоугольного треугольника равен 30°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 36 см. Найдите стороны треугольника.

4. Через вершину С параллелограмма ABCD проведена прямая HP так, что точка С лежит между точками Н и Р, которые принадлежат прямым АВ и AD соответственно:

а) докажите, что BH ? DP = ВС ? CD;

б) найдите косинус угла CDP, если синус угла НВС = 3/5.

5. Через центр квадрата ABCD проведены две взаимно перпендикулярные прямые, каждая из которых пересекает противоположные стороны квадрата. Докажите, что отрезки этих прямых, заключенные внутри квадрата, равны между собой.

Билет № 17

1. Свойство биссектрисы треугольника (с доказательством).

2. Прямая, обратная, противоположная и обратная к противоположной теоремы. Сущность метода доказательства от противного.

3. Найдите углы правильного десятиугольника.

4. Даны точки М(0; 4), Р (2; 1), К (2; -2), Т (0; -5):

а) докажите, что четырёхугольник МРКТ – трапеция;

б) равны ли углы МРК и РКТ?

5. Из вершины М тупого угла параллелограмма MNKP проведены перпендикуляры МН1 и МН2 к прямым NK и КР. Найдите углы параллелограмма, если угол Н1МН2 = 70°.

Билет № 18

1. Свойство точки пересечения медиан (с доказательством).

2. Теорема о пропорциональных отрезках (без доказательства).

3. BD является высотой равнобедренного треугольника ABC (АВ = ВС); угол ABD = 17°, AD = 9 см. Найдите углы DВС, ABC и основание АС.

4. В прямоугольнике МНРК диагонали пересекаются в точке О, РК = 2, угол МОК = 120°. Вычислите скалярное произведение векторов.

5. В треугольнике ABC АВ = 4,2 см, АС = 2,7 см, длина ВС выражается целым числом. Найдите её.

§ 3. Экзаменационный комплект № 3 (углубленный уровень)

Билет № 1

1. Признаки равенства треугольников.

2. Соотношение между вписанным и центральным углами в окружности, опирающимися на одну дугу.

3. В параллелограмме ABCD угол BCD равен 60°, длина стороны АВ равна а. Биссектриса угла BCD пересекает сторону AD в точке N. Найдите площадь треугольника NCD.

4. Дан правильный 30-угольник A1A2...A30 с центром О. Найдите угол между прямыми ОАЗ и А1АЧ.

Билет № 2

1. Свойства равнобедренного треугольника.

2. Докажите, что если через произвольную точку S провести две прямые, пересекающие окружность в точках А, В и С, D соответственно, то AS ? BS = CS ? DS.

3. Квадрат со стороной 3 см срезан по углам так, что образовался правильный восьмиугольник. Найдите сторону восьмиугольника.

4. Найдите площадь равнобедренной трапеции, у которой высота равна 10, а диагонали взаимно перпендикулярны.

Билет № 3

1. Признаки равенства прямоугольных треугольников.

2. Окружность и круг. Длина окружности и площадь круга. Площадь кругового сектора и сегмента.

3. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, у которого все углы равны, если сумма его внешних углов с одним из внутренних равна 468°?

4. Докажите, что в параллелограмме ABCD расстояния от любой точки диагонали АС до прямых ВС и CD обратно пропорциональны длинам этих сторон.

Билет № 4

1. Геометрическое место центра описанной около треугольника окружности.

2. Сумма углов выпуклого n-угольника.

3. Стороны прямоугольника равны а и в. На стороне а, как на диаметре, построена окружность. На какие отрезки окружность делит диагональ прямоугольника?

4. В треугольнике ABC на стороне ВС взята точка М так, что MB = МС, а на стороне АС взята точка К так, что АК = 3 ? КС. Отрезки ВК и AM пересекаются в точке О. Найдите AO/AM.

Билет № 5

1. Признаки подобия треугольников.

2. Многоугольники. Правильные многоугольники. Величина угла в правильном n-угольнике.

3. В параллелограмме с периметром 32 см проведены диагонали. Разность между периметрами двух смежных треугольников равна 8 см. Найдите длины сторон параллелограмма.

4. Точка находится внутри круга радиуса 6 и делит проходящую через неё хорду на отрезки длиной 5 и 4. Найдите расстояние от точки до окружности.

Билет № 6

1. Признаки параллельности прямых.

2. Теорема Пифагора.

3. Две окружности с радиусами R = 3 и r = 1 касаются внешним образом. Найдите расстояния от точки касания окружностей до их общих касательных.

4. Найдите длину стороны квадрата, вписанного в равнобедренный треугольник с основанием а и боковой стороной в так, что две его вершины лежат на основании, а две другие вершины – на боковых сторонах.

Билет № 7

1. Докажите, что если параллельные прямые пересечены третьей прямой, то образовавшиеся внутренние накрест лежащие углы равны.

2. Выведите формулу R = abc/4S, где R – радиус описанной около треугольника окружности; а, в, с – длины его сторон, S – площадь треугольника.

3. Длины параллельных сторон трапеции равны 25 и 4, а длины боковых сторон равны 20 и 13. Найдите высоту трапеции.

4. Сторона квадрата, вписанного в окружность, отсекает сегмент, площадь которого (2? – 4) см2. Найдите периметр квадрата.

Билет № 8

1. Касательная к окружности и её свойство. Виды касания окружностей.

2. Формула Герона.

3. Основание равнобедренного треугольника равно 4?2, медиана боковой стороны равна 5. Найдите длину боковой стороны.

4. В прямоугольнике ABCD точки М и N – середины сторон АВ и ВС. Точка О – точка пересечения AN и DM. Найдите AO/ON.

Билет № 9

1. Свойства параллелограмма.

2. Свойство биссектрисы треугольника; длина биссектрисы.

3. Из точки D, лежащей на катете АС прямоугольного треугольника ABC, на гипотенузу СВ опущен перпендикуляр DE. Найдите длину CD, если СВ = 15, АВ = 9, СЕ = 4.

4. Диаметр окружности радиуса R является основанием правильного треугольника. Вычислите площадь той части треугольника, которая лежит вне данного круга.

Билет № 10

1. Свойства и признаки ромба, прямоугольника, квадрата.

2. Теорема синусов. Докажите, что отношение сторон треугольника к синусам противолежащих углов равно диаметру описанной окружности.

3. Основание треугольника равно ?2. Найдите длину отрезка прямой, параллельной основанию и делящей площадь треугольника пополам.

4. В равнобедренной трапеции даны основания а = 21, в = 9 и высота н = 8. Найдите длину описанной окружности.

Билет № 11

1. Теорема Фалеса и её обобщение (теорема о пропорциональных отрезках).

2. Геометрическое введение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла. Решение прямоугольных треугольников.

3. В пересечение двух равных кругов вписан ромб с диагоналями 12 и 6 см. Найдите радиус окружностей.

4. Высота ромба равна 12, а одна из его диагоналей равна 15. Найдите площадь ромба.

Билет № 12

1. Свойство средней линии трапеции.

2. Основные тригонометрические тождества.

3. В треугольник вписана окружность с радиусом 4. Одна из сторон треугольника разделена точкой касания на отрезки, длины которых 6 и 8. Найдите длины сторон треугольника.

4. Параллелограмм ABCD, у которого АВ = 153, AD = 180, BE = 135 (BE – высота), разделён на три одинаковые по площади фигуры прямыми, перпендикулярными AD. На каком расстоянии от точки А находятся точки пересечения этих перпендикуляров с AD?

Билет № 13

1. Уравнение прямой и окружности. Геометрический смысл коэффициентов к и в в уравнении у = kx + в. Взаимное расположение прямой и окружности.

2. Площадь четырёхугольника.

3. Докажите, что середины сторон равнобокой трапеции являются вершинами ромба.

4. Определите стороны треугольника, если медиана и высота, проведённые из вершины одного угла, делят этот угол на три равные части, а сама медиана равна 10 см.

Билет № 14

1. Векторы; действия с векторами. Скалярное произведение векторов.

2. Свойство медиан треугольника. Длина медианы.

3. Из одной точки проведены к окружности две касательные, каждая длиной 12 см. Расстояние между точками касания 14,4 см. Определите радиус окружности.

4. Площадь равностороннего треугольника, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, вдвое больше площади последнего. Определите углы прямоугольного треугольника.

Билет № 15

1. Признаки параллелограмма.

2. Теорема косинусов.

3. На основании равнобедренного треугольника, равном 8 см, как на хорде, построена окружность, касающаяся боковых сторон треугольника. Найдите радиус окружности, если длина высоты, опущенной на основание треугольника, равна 3 см.

4. В сектор с центральным углом в 60° вписан круг. При каком радиусе сектора площадь круга равна ??

Билет № 16

1. Критерий описанного около окружности четырёхугольника.

2. Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов I четверти.

3. В треугольнике ABC точка М – точка пересечения медиан. Выразите вектор AM через вектора АВ и АС.

4. Найдите площадь параллелограмма, если его диагонали равны 3 и 5, а острый угол параллелограмма – 60°.

Билет № 17

1. Геометрическое место центра вписанной в треугольник окружности.

2. Площадь параллелограмма.

3. Средняя линия трапеции равна 10 и делит площадь трапеции в отношении 3:5. Найдите длины оснований этой трапеции.

4. В треугольнике ABC проведены высоты AD и СЕ. Докажите, что треугольники ABC и DBE подобны. Чему равен коэффициент подобия?

Билет № 18

1. Теорема о разложении вектора по базису.

2. Докажите, что S = рr, где S– площадь треугольника, р – полупериметр треугольника, r – радиус вписанной окружности.

3. Известно, что в трапецию ABCD с основаниями AD и ВС можно вписать окружность и около неё можно описать окружность, EF – её средняя линия. Известно, что АВ + CD + EF = 18. Найдите периметр трапеции.

4. В равносторонний треугольник вписана окружность. Этой окружности и сторон треугольника касаются три малые окружности. Найдите сторону треугольника, если радиус малой окружности равен 1.

Билет № 19

1. Критерий вписанного в окружность четырёхугольника.

2. Площадь треугольника.

3. В параллелограмме ABCD длина диагонали BD, перпендикулярной стороне АВ, равна 6. Длина диагонали АС равна 2?22. Найдите длину стороны AD.

4. Периметр прямоугольного треугольника равен 24 см, а его площадь равна 24 см2. Найдите площадь описанного круга.

Билет № 20

1. Свойство средней линии треугольника.

2. Формулы радиусов вписанной и описанной окружностей для правильного n-угольника. Площадь правильного многоугольника.

3. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки длиной 5 и 12 см. Найдите катеты треугольника.

4. Около окружности описана равнобокая трапеция, у которой боковая сторона точкой касания делится на отрезки 4 и 9 см. Найдите площадь трапеции.

§ 4. Экзаменационный комплект № 4 (элективный уровень)

Билет № 1

1. Аксиомы и теоремы. Определения. Аксиомы планиметрии.

2. Критерий вписанной в четырехугольник окружности.

3. Формула угла между прямыми a1x + BLy + c1 = 0 и а2х + ь2у + с2 = 0.

4. В остроугольном треугольнике ABC из вершине и С на стороны ВС и АВ опущены высоты АР и CQ. Известно, что площадь треугольника ABC равна 18, площадь треугольника BPQ равна 2, а длина отрезка PQ равна 2?2. Вычислите радиус окружности, описанной около треугольника ABC.

5. Основание АВ трапеции ABCD вдвое длиннее основания CD и вдвое длиннее боковой стороны AD. Длина диагонали АС равна а, а длина боковой стороны ВС равна в. Найти площадь трапеции.

Билет № 2

1. Признаки и свойства фигур. Характеристическое свойство геометрической фигуры. Примеры.

2. Критерий описанной около четырёхугольника окружности.

3. Координатные формулы деления отрезка в данном отношении.

4. В треугольнике, один из углов которого равен разности двух других, длина меньшей стороны равна 1, а сумма площадей квадратов, построенных на двух других сторонах, в два раза больше площади описанного около треугольника круга. Найти длину большей стороны треугольника.

5. В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагонали АС и BD пересекаются в точке F. Известно, что AF = CF = 2, BF = 1, DF = 4, ?BFC = ?/3. Найти косинус угла между векторами АВ и DC.

Билет № 3

1. Прямая, обратная, противоположная и обратная к противоположной теоремы. Закон контрапозиции. Метод доказательства от противного.

2. Формула Герона площади треугольника.

3. Смешанное произведение векторов, его геометрический смысл.

4. В треугольнике ABC величина угла ВАС равна ?/3, длина высоты, опущенной из вершины С на сторону АВ, равна – ?3 см, а радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 5 см. Найти длины сторон треугольника ABC.

5. Диагональ BD четырёхугольника ABCD является диаметром окружности, описанной около этого четырёхугольника. Вычислить длину диагонали АС, если BD = 2, АВ = 1, ?ABD: ?ВВС = 4:3.

Билет № 4

1. Геометрическое место точек. Основные геометрические места точек на плоскости. Метод геометрических мест.

2. Признаки подобия треугольников.

3. Формула расстояния между параллельными прямыми ах + by + с1 = 0 и ах + by + с2 = 0.

4. На катете АС прямоугольного треугольника ABC как на диаметре построена окружность, которая пересекает гипотенузу АВ в точке К. Найти площадь треугольника СКВ, если длина катета АС равна в и величина угла ABC равна ?.

5. В выпуклом четырёхугольнике длины диагоналей равны одному и двум метрам. Найти площадь четырёхугольника, зная, что длины отрезков, соединяющих середины его противоположных сторон, равны.

Билет № 5

1. Вектор. Координаты вектора. Равенство векторов. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число.

2. Признаки параллельности прямых.

3. Зависимость между высотами треугольника и радиусом вписанной в него окружности.

4. Длины боковых сторон трапеции равны 3 и 5. Известно, что в трапецию можно вписать окружность. Средняя линия трапеции делит её на две части, отношение площадей которых равно 5/11. Найти длины оснований трапеции.

5. В треугольнике ABC длина высоты BD равна 6 см, длина медианы СЕ равна 5 см, расстояние от точки пересечения отрезков BD и СЕ до стороны АС равно 1 см. Найти длину стороны АВ.

Билет № 6

1. Движения на плоскости, их виды. Композиция движений.

2. Свойство биссектрисы треугольника.

3. Взаимное расположение прямой ах + by + с = 0 и вектора n = (а; в).

4. Выпуклый четырёхугольник ABCD описан вокруг окружности с центром в точке О, при этом АО = ОС = 1, ВО = OD = 2. Найти периметр четырёхугольника ABCD.

5. В треугольнике ABC на стороне АВ взята точка К так, что АК: ВК = 2:1, а на стороне ВС взята точка L так, что CL: BL = 2:1. Пусть Q – точка пересечения прямых AL и СК. Найти площадь треугольника ABC, если дано, что площадь треугольника BQC равна 1.

Билет № 7

1. Преобразования плоскости. Преобразование подобия. Гомотетия.

2. Докажите, что точка пересечения боковых сторон трапеции, точка пересечения диагоналей и середины оснований трапеции лежат на одной прямой.

3. Свойство точки пересечения медиан.

4. В выпуклом четырёхугольнике MNLQ углы при вершинах N и L – прямые, а величина угла при вершине М равна arctg2/3. Найти длину диагонали NQ, если известно, что длина стороны LQ вдвое меньше длины стороны MN и на 2 м больше длины стороны LN.

5. В треугольнике ABC высота BD равна 11,2, а высота АЕ равна 12. Точка Е лежит на стороне ВС и BE: ЕС – 5:9. Найти длину стороны АС.

Билет № 8

1. Равенство фигур. Признаки равенства треугольников.

2. Уравнение прямой. Геометрический смысл числа к в уравнении у = kx + в.

3. Число ? и методы его вычисления. Длина окружности.

4. В окружность вписан четырёхугольник ABCD, диагонали которого взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке Е. Прямая, проходящая через точку Е и перпендикулярная к АВ, пересекает сторону CD в точке М. Доказать, что ЕМ – медиана треугольника CED, и найти её длину, если AD = 8 см, АВ = 4 см и ?CDB = ?.

5. В треугольнике ABC угол ВАС прямой, длины сторон АВ и ВС равны соответственно 1 и 2. Биссектриса угла ABC пересекает сторону АС в точке L, G – точка пересечения медиан треугольника ABC. Что больше, длина BL или длина BG?

Билет № 9

1. Свойства параллельных прямых. Сумма углов треугольника и выпуклого n-угольника.

2. Формулы приведения.

3. Теорема Менелая и обратная к ней.

4. Центр О окружности радиуса 3 лежит на гипотенузе АС прямоугольного треугольника ABC. Катеты треугольника касаются окружности. Найти площадь треугольника ABC, если известно, что длина отрезка ОС равна 5.

5. Продолжения сторон AD и ВС четырёхугольника ABCD пересекаются в точке Р. Точки М и N – середины сторон АВ и CD. Доказать, что если прямая MN проходит через точку Р, то ABCD – трапеция.

Билет № 10

1. Геометрическое место центров вписанной в треугольник и описанной около треугольника окружностей.

2. Теорема Чевы и обратная к ней.

3. Многоугольники. Правильные многоугольники. Формулы R и r для правильного n-угольника со стороной а.

4. На плоскости лежит равнобедренный прямоугольный треугольник, у которого катеты имеют длину а. Поворотом в этой плоскости данного треугольника вокруг вершины его прямого угла на угол 45° получается другой равнобедренный прямоугольный треугольник. Найти площадь четырёхугольника, являющегося общей частью этих двух треугольников.

5. В параллелограмме ABCD сторона АВ равна 6 см, а высота, проведенная к основанию AD, равна 3 см. Биссектриса угла BAD пересекает сторону ВС в точке М так, что МС = 4 см. N – точка пересечения биссектрисы AM и диагонали BD. Вычислить площадь треугольника BNM.

Билет № 11

1. Векторное произведение векторов, его геометрический смысл.

2. Использование теорем синусов и косинусов для решения треугольников.

3. Свойства ромба, прямоугольника, квадрата.

4. На плоскости даны две окружности радиусов 12 см и 7 см с центрами в точках О1 и O2, касающиеся некоторой прямой в точках М1 и М2 и лежащие по одну сторону от этой прямой. Отношение длины отрезка M1M2 к длине отрезка О1О2 равно.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Билет № 11.

Вычислить длину отрезка М1М2.

5. Дан равнобедренный треугольник ABC, в котором проведены высота CD и перпендикуляр DE к боковой стороне ВС. Точка М – середина отрезка DE. Доказать, что отрезки АЕ и СМ перпендикулярны.

Билет № 12

1. Признаки и свойства параллелограмма.

2. Формула Эйлера о расстоянии между центрами вписанной в треугольник и описанной около треугольника окружностей.

3. Геометрическое введение синуса, косинуса, тангенса, котангенса. Основные тригонометрические тождества.

4. В треугольниках ABC и А1В1С1 длина стороны АВ равна длине стороны А1В1, длина стороны АС равна длине стороны А1С1, величина угла ВАС равна 60° и величина угла В1А1С1 равна 120°. Известно, что отношение длины В1С1 к длине ВС равно ?n (где n – целое число). Найти отношение длины АВ к длине АС. При каких значениях n задача имеет хотя бы одно решение?

5. В трапецию ABCD с основаниями AD и ВС и с боковыми сторонами АВ и CD вписана окружность с центром О. Найти площадь трапеции, если угол DAB прямой, ОС = 2 и OD = 4.

Билет № 13

1. Аксиоматический подход в геометрии. Требования к системе аксиом. Аксиоматическая теория.

2. Теорема синусов. Формула 2R = а/sin ?.

3. Вписанные в окружность углы. Соотношение между вписанным и центральным углами, опирающимися на одну дугу.

4. В трапеции ABCD отрезки АВ и DC являются основаниями. Диагонали трапеции пересекаются в точке Е. Найти площадь треугольника ВСЕ, если АВ = 30 см, DC = 24 см, AD = 3 см и ?DAB = ?/3.

5. В прямоугольный треугольник, периметр которого равен 36 см, вписана окружность. Гипотенуза делится точкой касания в отношении 2:3. Найти длины сторон треугольника.

Билет № 14

1. Теорема Фалеса. Теорема о пропорциональных отрезках.

2. Длина медианы треугольника.

3. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами. Угол между прямыми.

4. Хорды АВ и АС имеют одинаковую длину. Величина образованного ими вписанного в окружность угла равна ?/6. Найти отношение площади той части круга, которая заключена в этом угле, к площади всего круга.

5. Внутри равностороннего треугольника ABC дана точка М, такая, что AM = 1, ВМ = ?3 и СМ = 2. Найти АВ, ?АМВ и ?ВМС.

Билет № 15

1. Теорема Пифагора. Египетский треугольник.

2. Длина биссектрисы треугольника.

3. Понятие площади фигуры. Площадь прямоугольника, параллелограмма, треугольника, трапеции.

4. Доказать, что для треугольника ABC и любой точки Р выполняется неравенство: РА2+ РВ2+ PC2? 1/3(АВ2+ ВС2+ СА2).

5. В плоскости дан квадрат с последовательно расположенными вершинами А, В, С, D и точка О. Известно, что OB = OD = 13, ОС = 5?2 и что площадь квадрата больше 225. Найти длину стороны квадрата и выяснить, где расположена точка О – вне или внутри квадрата.

Билет № 16

1. Формула расстояния от точки А(хО, уО) до прямой ах + by + с = 0.

2. Значения sin, cos, tg, ctg от углов 30°, 45° и 60°.

3. Докажите, что если треугольники подобны, то с тем же коэффициентом пропорциональны произвольные соответствующие линейные элементы этих треугольников.

4. В треугольнике ABC длина стороны АС равна 3, ?ВАС = ?/6 и радиус описанной окружности равен 2. Доказать, что площадь треугольника ABC меньше 3.

5. Площадь прямоугольника ABCD равна 48, а длина диагонали равна 10. На плоскости, в которой расположен прямоугольник, выбрана точка О так, что OB = OD = 13. Найти расстояние от точки О до наиболее удалённой от нее вершины прямоугольника.

Билет № 17

1. Координаты на плоскости. Расстояние между точками.

2. Теорема косинусов. Связь теоремы косинусов и теоремы Пифагора.

3. Площадь четырёхугольника, правильного n-угольника.

4. В треугольнике ABC медианы, проведенные к сторонам АС и ВС, пересекаются под прямым углом. Длина стороны АС равна в, длина стороны ВС равна а. Найти длину стороны АВ.

5. Найдите геометрическое место точек, равноудалённых от данной прямой и данной точки.

Билет № 18

1. Уравнение фигуры. Уравнение окружности.

2. Базис на плоскости. Теорема о разложении вектора по базису.

3. Формула S = рr для треугольника.

4. Из всех прямоугольников, вписанных в полукруг, найти прямоугольник наибольшей площади.

5. На сторонах АВ и АС треугольника ABC взяты точки М и Т, такие, что AM/MB = CN/NA = 1/2. Отрезки BN и СМ пересекаются в точке К. Найти отношения отрезков BK/KN и CK/KM.

Билет № 19

1. Касательная к окружности, её свойство. Виды касания окружностей.

2. Координатные формулы движений.

3. Формула S = abc/4R для треугольника.

4. В треугольнике ABC угол А прямой, величина угла В равна 30°. В треугольник вписана окружность, радиус которой равен ?3. Найти расстояние от вершины С до точки касания этой окружности с катетом АВ.

5. Основания трапеции равны 4 см и 9 см, а диагонали равны 5 см и 12 см. Найти площадь трапеции и угол между её диагоналями.

Билет № 20

1. Пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности.

2. Первая теорема косинусов для четырёхугольника.

3. Свойство средней линии треугольника и трапеции.

4. Стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию. Доказать, что радиус окружности, вписанной в треугольник, равен 1/3 высоты, проведённой к средней по величине стороне треугольника.

5. Средняя линия трапеции равна 4, отрезок, соединяющий середины оснований, равен 1, углы при основании трапеции равны 40° и 50°. Найдите длины оснований трапеции.

§ 1. Решения и ответы к задачам § 1 главы 2

Задача 10 (рис. 220)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 10 (рис. 220)

Рис. 220.

Решение. Пусть ВС = х, тогда AD = х – 4. Площадь треугольника ABC равна 1/2 ? ВС ? AD = 1/2 ? х ? (х – 4). По условию площадь равна 16. Значит, 1/2 ? х ? (х – 4) = 16, откуда х = 8. ВС = 8, AD = ВС – 4 = 4. По теореме Пифагора.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 10 (рис. 220)

Периметр треугольника равен PABC = AC + BC + AB = 5 + 8 + ?41 = 13 + ?41.

Ответ: 13 + ?41 см.

Задача 11

Решение. Запишем площадь треугольника тремя способами:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 11.

с другой стороны,

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 11.Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 11.

Аналогично.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 11.

Задача 12 (рис. 221)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 12 (рис. 221)

Рис. 221.

Решение. Пусть в треугольнике ABC АС = ?2. Проведем отрезок DE так, что площадь треугольника DBE равна площади трапеции ADEC. Так как нам нужно найти длину отрезка DE, обозначим ее через х. Введем еще обозначения: высоту треугольника DBE обозначим через h1 высоту трапеции ADEC через h2 Составим систему уравнений:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 12 (рис. 221)

Первое уравнение фиксирует равенство площадей треугольника DBE и трапеции ADEC. Второе уравнение констатирует тот факт, что площадь треугольника ABC в 2 раза больше площади треугольника DBE, при этом использовано условие АС = ?2. Решая систему, получаем:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 12 (рис. 221)

Ответ: 1.

Задача 13 (рис. 222)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 13 (рис. 222)

Рис. 222.

Решение. Пусть в треугольнике ABC ВС = а, ?АВС = ?, ?АСВ = ?, длину АС обозначим через х. По теореме синусов:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 13 (рис. 222)

Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон треугольника на синус угла между ними.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 13 (рис. 222)

Ответ:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 13 (рис. 222)

Задача 14 (рис. 223)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 14 (рис. 223)

Рис. 223.

Решение. Пусть ABC – данный в условии задачи треугольник. Так как медиана треугольника ABC – отрезок СЕ – всегда лежит внутри треугольника, то, чтобы точка пересечения отрезков СЕ и BD также лежала внутри треугольника ABC, необходимо, чтобы угол С был меньшим 90°. Обозначим через Р точку пересечения прямых BD и СЕ. Так как PD перпендикулярна АС, то расстояние от точки Р до стороны АС равно длине отрезка PD, т. е. равно 1 см. Проведём через точку Е прямую, параллельную основанию АС треугольника ABC. Пусть эта прямая пересекает высоту BD в точке К, а сторону ВС в точке F. Так как СЕ – медиана и прямая EF параллельна АС, то EF – средняя линяя треугольника ABC. Поэтому, в частности, прямая EF делит пополам высоту BD, т. е. KD = 1/2BD = 3 см. Теперь находим, что КР = KD – PD = 2 см. Треугольники ЕРК и DPC подобны, так как у них ?ЕРК = ?DPC, как величины вертикальных углов, ?РКЕ = ?PDC = 90°. Из подобия этих треугольников следует, что KP/PD = EP/PC. Так как PC = ЕС – ЕР, то это равенство можно записать в виде 2/1 = EP/(5 – EP), откуда получаем, что ЕР = 10/3 см. Из прямоугольного треугольника ЕКР находим, что.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 14 (рис. 223)

Так как ЕК средняя линия треугольника ABD, то AD = 2 ? ЕК 16/3 см. Из прямоугольного треугольника ADB находим.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 14 (рис. 223)

Ответ:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 14 (рис. 223)

Задача 15 (рис. 224)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 15 (рис. 224)

Рис. 224.

Решение. Обозначим длину отрезка АС через х. Из прямоугольного треугольника АЕС по теореме Пифагора находим.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 15 (рис. 224)

Поусловию BE: ЕС = 5:9, значит,

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 15 (рис. 224)

Площадь треугольника ABC равна 1/2 BD ? АС и одновременно 1/2 АЕ ? ВС, так что BD ? АС = АЕ ? ВС или.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 15 (рис. 224)

Последнее уравнение можно переписать в виде.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 15 (рис. 224)

Возведя последнее уравнение в квадрат, получим, что х2= 225, откуда х = 15, либо х = -15. Так как х – длина стороны, то х = 15. Следовательно, длина стороны АС равна 15.

Ответ: 15.

Задача 16 (рис. 225)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 16 (рис. 225)

Рис. 225.

Решение. По теореме синусов ВС = 2Rsin ?ВАС = 2 ? 2 ? 1/2 = 2, где R – радиус описанной окружности. Так как АВ – хорда, то её длина не больше диаметра, т. е. АВ ? 2R = 4. Покажем, что АВ < 4. Если АВ = 4, то ?АСВ = ?/2 и должно выполняться равенство АВ2= АС2+ ВС2. Но оно не выполняется, так как 42? З2+ 22. Значит, АВ < 4. Тогда.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 16 (рис. 225)

Требуемое утверждение доказано.

Задача 17 (рис. 226)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 17 (рис. 226)

Рис. 226.

Решение. Пусть ВК и AD – медианы, проведенные соответственно к сторонам АС и ВС. Обозначим через Е точку их пересечения. Так как точка К – середина стороны АС и точка D – середина стороны ВС, то отрезок KD – средняя линия треугольника ABC. Следовательно, АВ = 2 ? KD. Так как по условию задачи ВК и AD перпендикулярны, то треугольники АЕК, KED, BED, АЕВ прямоугольные. Применяя теорему Пифагора к этим треугольникам, имеем:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 17 (рис. 226)

Ответ:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 17 (рис. 226)

Задача 22 (рис. 227)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 22 (рис. 227)

Рис. 227.

Решение. Пусть в треугольнике ABC АВ = ВС = 12, ?ABC = 120°. Так как в треугольнике сумма углов равна 180°, то ?А + ?С = 180° – 120° = 60°. Учитывая, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, получаем: ?А = 30°. Рассмотрим треугольник ВНА, где ВН – высота треугольника. ВН – катет в этом треугольнике, лежащий напротив угла в 30°.

Тогда ВН = 1/2 ? АВ = 6.

Ответ: 6.

Задача 23 (рис. 228)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 23 (рис. 228)

Рис. 228.

Решение. Поскольку высота в равнобедренном треугольнике, проведённая к основанию, является и медианой треугольника, то AD = DC = 2. Тогда по теореме Пифагора имеем:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 23 (рис. 228)

Естественно, что и ВС = 2?5. Воспользуемся формулой радиуса описанной около треугольника окружности R = abc/4S. Длины сторон треугольника равны 4, 2?5, 2?5, а площадь треугольника S = 1/2 ? AC ? BD = 1/2 ? 4 ? 4 = 8;

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 23 (рис. 228)

Тогда площадь круга Sкруга = ?R2= 25?/4.

Ответ: 25?/4.

Задача 24 (рис. 229)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 24 (рис. 229)

Рис. 229.

Решение. Так как BD – высота в равнобедренном треугольнике ABC, то она является и медианой, т. е. AD = DC. Так как AC/BC = 6/5, то можно обозначить DC = Зх; ВС = 5х (см. рис.). Из ?BCD по теореме Пифагора DB2+ DC2= ВС2. Или 82+ (Зх)2= (5х)2; х = 2. Радиус вписанной окружности r = S/Р; площадь треугольника S = 1/2 АС ? BD = 1/2 ? 6х ? 8 = 48; полупериметр р = (5x + 5x + 6x)/2 = 16; r = 48/16 =3.

Ответ: 3.

Задача 25

Решение. Sзаштрихованного сектора = 1/3(Sкруга – Sтреугольника). Длина окружности l = 2?R. По условию l = 4?; 2?R = 4?; R = 2. Sкруга = ?R2= 4?. Длину стороны треугольника найдём по теореме синусов:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 25.

Ответ:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 25.

Задача 26 (рис. 230)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 26 (рис. 230)

Рис. 230.

Решение. Пусть К – произвольная точка внутри равностороннего треугольника ABC со стороной а. Опустим перпендикуляры KM, KN, КР на стороны треугольника. Обозначим эти перпендикуляры следующим образом: КМ = х, KN = у, КР = z. Тогда SABC = SABK + SBKC + SAKC. Получаем равенство:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 26 (рис. 230)

Отсюда (а?3)/2 = х + у + z. Но высота н треугольника равна н = а ? sin 60° = (а?3)/2; значит, х + у + z = н.

Задача 31 (рис. 231)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 31 (рис. 231)

Рис. 231.

Решение. Так как AD – высота в равнобедренном треугольнике ABC, то она является и медианой. Значит, BD = DC = 6. Тогда AD = BD = 6, так как ?ABD = ?BAD = 45°.

Можно было увидеть и другую закономерность. Так как D – середина гипотенузы, то D – центр описанной около треугольника ABC окружности. Значит. DA = DB = DC = 6.

Ответ: 6 см.

Задача 32 (рис. 232)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 32 (рис. 232)

Рис. 232.

Решение. Обозначим угол ВАС через ?. Тогда AC = BC ? ctg?. Последовательно находим:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 32 (рис. 232)

Ответ: 96/5; 345, 6.

Задача 33 (рис. 233)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 33 (рис. 233)

Рис. 233.

Решение. Обозначим катеты прямоугольного треугольника ABC с гипотенузой ВС через а и в (см. рис). Тогда.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 33 (рис. 233)Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 33 (рис. 233)

По условию SBCD = 2SABC. Значит,

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 33 (рис. 233)

преобразуем это уравнение к виду.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 33 (рис. 233)

Дискриминант D этого уравнения будет равен.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 33 (рис. 233)Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 33 (рис. 233)

Но а/в = tg(?ВСА), значит, ?ВСА = 60° или 30°.

Ответ: 60°; 30°.

Задача 34 (рис. 234)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 34 (рис. 234)

Рис. 234.

Решение. Пусть ABC – заданный треугольник, AD – высота, опущенная на гипотенузу. Тогда по условию BD = 9, DC = 16. Обозначим АВ через х, АС через у, высоту AD через н. По теореме Пифагора: BD2+ AD2= АВ2; DC2+ AD2= АС2; АВ2+ AC2= ВС2. Получаем систему уравнений:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 34 (рис. 234)

Сложим все уравнения:

81 + 256 + 2h2+ х2+ у2= х2+ у2+ 625;

2h2= 228; н = 12; х2= 81 + 144 = 225; х = 15;

у2= 256 + 144 = 400; у = 20.

Далее воспользуемся формулой r = S/р.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 34 (рис. 234)

r = 150/30 = 5.

Ответ: 5.

Задача 35 (рис. 235)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 35 (рис. 235)

Рис. 235.

Решение. Пусть ABC – данный в условии задачи треугольник. По теореме Пифагора находим, что AC = ?3. Поскольку sin ?ABC = ?3/2, то, учитывая, что угол ?ABC – угол прямоугольного треугольника, находим, что ?ABC = ?/3. Следовательно, ?АСВ = ?/6. Так как BL – биссектриса угла ABC, то ?ABL = ?/6. Из прямоугольного треугольника ABL находим.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 35 (рис. 235)

Пусть М – середина отрезка АС. Тогда AM = 1/2 АС = ?3/2. Из прямоугольного треугольника ВАМ находим, что.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 35 (рис. 235)

Так как точка пересечения медиан делит каждую из них в отношении 2:1, то.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 35 (рис. 235)

Для ответа на вопрос, поставленный в задаче, надо сравнить числа.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 35 (рис. 235)

Поскольку.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 35 (рис. 235)

т. е. BL > BG.

Ответ: длина BL больше длины BG.

Задача 36 (рис. 236)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 36 (рис. 236)

Рис. 236.

Решение. Пусть ABC – данный в условии задачи прямоугольный треугольник, А1ВС1 – прямоугольный треугольник, полученный поворотом треугольника ABC вокруг вершины его прямого угла В на угол 45°. Из условия задачи следует, что величины углов CBC1, CBA1, ABA1, ВСА, ВА1С1 равны 45°. Прямые АВ и А1С1 параллельны, т. к. при их пересечении прямой ВА1 равны накрест лежащие углы АВА1 и ВА1С1. Но тогда, поскольку треугольник ABC прямоугольный и, значит, АВ ? ВС, получаем, что прямая С1А1 перпендикулярна прямой ВС. Обозначим через N точку пересечения прямых С1А1 и СВ. Поскольку.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 36 (рис. 236)

то точка N лежит на отрезке ВС. Пусть L – точка пересечения прямых АС и ВА1. Аналогично показывается, что точка L лежит на отрезке АС. Пусть М – точка пересечения прямых АС и С1А1. Ясно, что точка М лежит на отрезке CL. Тогда SBLMN = SBLC – SCNM. Треугольник BLC равнобедренный и прямоугольный, т. к. в нем ?CBL = ?LCB = 45°. Следовательно,

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 36 (рис. 236)

Треугольник CNM также равнобедренный и прямоугольный, причем.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 36 (рис. 236)

Следовательно,

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 36 (рис. 236)

Итак,

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 36 (рис. 236)

Ответ:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 36 (рис. 236)

Задача 43 (рис. 237)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 43 (рис. 237)

Рис. 237.

Решение. Проведём высоты трапеции ВК и СМ. Очевидно, что КМ = 4; AK = MD = (12 – 4)/2 = 4. Так как треугольник АВК – равнобедренный (?АВК = ?ВАК = 45°). то ВК = АК = 4.

SABCD = (AD + BC)/2 ? BK = (12 + 4)/2 ? 4 = 32.

Ответ: 32 см2.

Задача 44 (рис. 238)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 44 (рис. 238)

Рис. 238.

Решение. Проведём высоты трапеции ВК и СМ. Мы получили два прямоугольных треугольника АВК и CMD, в которых ?ВАК и ?CDM равны 30°; так как напротив угла в 30° лежит катет (ВК), равный половине гипотенузы (АВ), то АВ = 2h (ВК = н).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 44 (рис. 238)

Ответ: (6 + 2?3)н.

Задача 45 (рис. 239)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 45 (рис. 239)

Рис. 239.

Решение. Пусть АК = х, высоты ВК и СМ равны н, тогда, так как КМ = ВС = 4, MD = 21 – х.

Из ?АВК и ?MCD по теореме Пифагора получим:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 45 (рис. 239)

Несложно подсчитать, что если оба угла при нижнем основании не острые, то задача решений не имеет.

Ответ: 12.

Задача 46 (рис. 240)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 46 (рис. 240)

Рис. 240.

Решение. Проведем высоту трапеции СК (см. рис.). Тогда, KD = (а – в)/2; cos D = (а – в)/2c. Из ?ACD по теореме косинусов AC2= AD2+ CD2– 2AD ? CD ? cos D = a2+ с2– 2 ? а ? с ? (а – в)/2c = a2+ с2– a2+ аь = c2+ ab.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 46 (рис. 240)

Ответ:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 46 (рис. 240)

Задача 47 (рис. 241)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 47 (рис. 241)

Рис. 241.

Решение. По содержанию задача идентична задаче 45. Однако, если мы начертим аналогичную трапецию и введем 25 соответствующие обозначения, то из чертежа получится система:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 47 (рис. 241)

24х = 144 + 625–289 = 480; х = 20. Получается, что MD = 12–20 = -8. Это лишь означает, что трапеция выглядит как на рис. 242:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 47 (рис. 241)Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 47 (рис. 241)

Рис. 242.

Ответ: 15 см.

Задача 48 (рис. 243)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 48 (рис. 243)

Рис. 243.

Решение. Так как ABCD – равнобедренная трапеция, то АО = OD и ?OAD = ?ODA = 45°. Проведём высоту BK (см. рис.). Раз ?ODA = 45°, то ?KBD – равнобедренный и KD = BK = 10.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 48 (рис. 243)

Ответ: 100.

Задача 49 (рис. 244)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 49 (рис. 244)

Рис. 244.

Решение. Пусть ABCD – данная в условиях задачи трапеция. Обозначим через точку М точку касания окружности со стороной CD трапеции ABCD. Соединив точки С и D с центром окружности, получим треугольник COD. Так как точка О равноудалена от прямых ВС и CD, то СО – биссектриса угла BCD и ?OCD = 1/2 ?BCD. Аналогично, ?ODC = 1/2 ?ADC. Поскольку BC||AD, то ?BCD + ?ADC = ?, следовательно, ?OCD + ?ODC = ?/2. Тогда ?COD = ?/2, т. е. треугольник COD – прямоугольный. По теореме Пифагора.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 49 (рис. 244)

Так как М – точка касания окружности и стороны CD, то CD ? ОМ. Из подобия прямоугольных треугольников OCD и OMD (они имеют общий острый угол) находим, что CD/OD = OC/OM.

Отсюда.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 49 (рис. 244)

Проведём через точку О прямую, перпендикулярную ВС. Тогда она будет перпендикулярна и прямой AD. Поскольку такой перпендикуляр к прямым ВС и AD единственен, то точки пересечения его L, К с прямыми AD и ВС соответственно будут точками касания сторон трапеции с окружностью. Значит, длина высоты трапеции равна KL = 2 ? ОМ = 8/?5 и АВ = 8/?5. Поскольку в четырехугольник ABCD вписана окружность, то BC + AD = AB + CD = 18/?5. Откуда SABCD = 1/2(BC + AD) ? AB = 72/5.

Ответ: 72/5.

Задача 53 (рис. 245)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 53 (рис. 245)

Рис. 245.

Решение. Исходя из условия задачи, получим систему:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 53 (рис. 245)

Учитывая, что AO = СО, получим:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 53 (рис. 245)

Ответ: 12 см; 4 см; 12 см; 4 см.

Задача 54 (рис. 246)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 54 (рис. 246)

Рис. 246.

Решение. Так как по условию BD = 6, АС = 2?22, то, учитывая, что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, получим: АО = ?22, ВО = 3. Из прямоугольного треугольника АВО по теореме Пифагора.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 54 (рис. 246)

Из прямоугольного треугольника ABD.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 54 (рис. 246)

Ответ: 7.

Задача 55 (рис. 247)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 55 (рис. 247)

Рис. 247.

Решение. С целью упрощения арифметических вычислений уменьшим все линейные размеры в 9 раз. Тогда АВ = 17; ВС = 20; BE = 15. Линии f и g делят площадь трапеции на три равные по площади части (см. рис.). Проведем высоту BE. Последовательно находим: SABCD = AD ? BE = 20 ? 15 = 300 (в «новом формате»).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 55 (рис. 247)

Осталось увеличить полученные результаты в 9 раз: AM = 96; AN = 156.

Ответ: 96; 156.

Задача 58 (рис. 248)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 58 (рис. 248)

Рис. 248.

Решение. Пусть в ромбе ABCD BD = АВ = AD. Тогда ?ABD – равносторонний и АВ = ВС = 10, ?BAD = 60°, ?АВС = 120°. По теореме косинусов из треугольника ABC.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 58 (рис. 248)

Ответ: 10?3 см; 120°; 60°.

Задача 59 (рис. 249)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 59 (рис. 249)

Рис. 249.

Решение. Начертим ромб ABCD. По условию.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 59 (рис. 249)

Так как диагонали ромба перпендикулярны друг другу, то ?AOD – прямоугольный. Тогда по теореме Пифагора АО2+ OD2= AD2. Обозначим АО через Чх, тогда OD = Зх.

(Чх)2+ (Зх)2= 202; 25х2= 400; х2= 16; х = 4. АО = 16; OD = 12. Осталось найти высоту ОН в ?AOD, которая и является радиусом вписанного круга. Из рисунка.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 59 (рис. 249)

Ответ: 92,16? см2.

Задача 60 (рис. 250)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 60 (рис. 250)

Рис. 250.

Решение. Во-первых, раз.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 60 (рис. 250)

Во-вторых, высота ромба равна диаметру вписанного круга, значит,

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 60 (рис. 250)

Так как.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 60 (рис. 250)

Ответ: 8Q/?.

Задача 64 (рис. 251)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 64 (рис. 251)

Рис. 251.

Решение. Так как ?BAC/?CAD = 1/2, а ?ВАС + ?CAD = 90°, то ?ВАС = 60°, ?CAD = 30°. Из ?ACD CD = AD ? tg 30° = AD/?3. Тогда CD: AD = 1:?3.

Ответ: 1:?3.

Задача 65 (рис. 252)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 65 (рис. 252)

Рис. 252.

Решение. Пусть AD = а, АВ = в. По условию SABCD = а ? в = 9?3.

Так как ?AOD = 120°, то ?BOA = 60°. Значит, ?АОВ – равносторонний и OB = в; BD = 2b. Из ?ABD а2+ b2= (2b)2; а = ?3b. ?3b ? в = 9?3; в = 3; а = 3?3.

Ответ: 3 см; 3?3 см.

Задача 66 (рис. 253)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 66 (рис. 253)

Рис. 253.

Решение. Для определённости будем считать, что АВ < AD. Так как AB ? AD = 48 и АВ2+ AD2= BD2= 100, то AD = 8, АВ = 6. Поскольку OB = OD = 13 > BD, то точка О лежит вне круга с диаметром BD и потому вне прямоугольника. Пусть она находится по ту же сторону от диагонали BD, что и точка А. Тогда требуется найти ОС. Обозначим ?OBD через ? и ?DВС через ?. Чтобы найти угол ?, опустим из точки О на диагональ BD перпендикуляр ОК. Получим ВК = KD = 1/2BD. Из прямоугольного ?ОВК следует:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 66 (рис. 253)

Тогда sin ? = 12/13. Из прямоугольного ?DВС находим:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 66 (рис. 253)

Применяя к треугольнику ОВС теорему косинусов, получаем.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 66 (рис. 253)

Ответ:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 66 (рис. 253)

Задача 70 (рис. 254)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 70 (рис. 254)

Рис. 254.

Решение. Как видно из рисунка, диаметр окружности d совпадает с диагональю квадрата АВ. По теореме Пифагора.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 70 (рис. 254)

Ответ: 7?2 см.

Задача 71 (рис. 255)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 71 (рис. 255)

Рис. 255.

Решение. Пусть сторона малого квадрата а, тогда диаметр d = 2Rкруга круга равен диагонали малого квадрата, т. е.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 71 (рис. 255)

Но Rкруга – это половина стороны большого квадрата. Сторона большего квадрата.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 71 (рис. 255)Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 71 (рис. 255)

Ответ: 2:1.

Задача 72 (рис. 256)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 72 (рис. 256)

Рис. 256.

Решение. MNKLPTQS – правильный восьмиугольник (см. рис.). Пусть РТ = х, тогда.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 72 (рис. 256)

из равнобедренного треугольника LCP.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 72 (рис. 256)

Из равенства LP = РТ получаем:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 72 (рис. 256)Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 72 (рис. 256)

Ответ:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 72 (рис. 256)

Задача 73 (рис. 257)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 73 (рис. 257)

Рис. 257.

Решение. Очевидно, что MNKL – квадрат. Его диагональ NL = NE + FL + EF = 2NE + EF = 2NE + 1 (см. рис.). Так как NE – высота в равностороннем треугольнике BNC, то.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 73 (рис. 257)

Сторона квадрата.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 73 (рис. 257)

Ответ: 2 + ?3.

Задача 76 (рис. 258)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 76 (рис. 258)

Рис. 258.

Решение. Можно, конечно, пуститься в достаточно длинные арифметические вычисления, но мы покажем самое простое и красивое решение. Раз площадь большого треугольника равна площади шестиугольника, то площадь этого треугольника в 6 раз больше площади треугольника ОАВ. А поскольку площадь правильного треугольника пропорциональна квадрату стороны, то его сторона в ?6 раз больше стороны АВ, т. е. сторона его будет равна 14?6.

Ответ: 14?6.

Задача 77 (рис. 259)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 77 (рис. 259)

Рис. 259.

Решение. Пусть сторона равностороннего треугольника АВ = а;

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 77 (рис. 259)

Найдём радиус r вписанной окружности.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 77 (рис. 259)

Здесь р = 3a/2 – полупериметр правильного треугольника ABC.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 77 (рис. 259)

Ответ: 2:1.

Задача 78 (рис. 260)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 78 (рис. 260)

Рис. 260.

Решение. Пусть ABCD – данный четырёхугольник. Обозначим К, L, М, N – точки касания окружности соответственно со сторонами АВ, ВС, CD, AD четырёхугольника ABCD. Соединим эти точки с центром О. Треугольники АОК, AON, CLO, СМО – равны, как имеющие равные гипотенузы и катеты: у них АО = ОС по условию и КО = OL = ОМ = ON = r, где r – радиус окружности, вписанной в четырёхугольник ABCD. Аналогично доказывается, что равны треугольники КОВ, BOL, DON и DOM. Из равенства треугольников имеем, что ?КОВ = ?BOL = ?NOD = ?DOM, а также ?АОК = ?LOC = ?AON = ?СОМ. Значит, ?AON + ?NOD = ?АОК + ?КОВ = ?BOL + ?LOC = ?СОМ + ?MOD. Так как ?АОВ = ?АОК + ?КОВ, ?ВОС = ?BOL + ?LOC, ?COD = ?СОМ + ?MOD, ?AOD = ?AON + ?NOD, то ?АОВ = ?ВОС = ?COD = ?AOD, и поскольку в сумме они составляют 360°, то каждый из них равен 90°. По теореме Пифагора из треугольника АОВ находим, что.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 78 (рис. 260)

Следовательно, периметр четырёхугольника (ромба) ABCD равен 4?5.

Ответ: 4?5.

Задача 85 (рис. 261)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 85 (рис. 261)

Рис. 261.

Решение. Составим пропорции: ?10? длина дуги А1В1 = 1.

360° ? длина окружности 2?R1. Отсюда.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 85 (рис. 261)Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 85 (рис. 261)

Ответ:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 85 (рис. 261)

Задача 86 (рис. 262)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 86 (рис. 262)

Рис. 262.

Решение. Так как ОА = 2r, то из прямоугольного треугольника ОВА имеем: ?ВАО = 30° (гипотенуза ОА в 2 раза больше катета OB) и ?ВАС = 60°.

Ответ: 60°

Задача 87 (рис. 263)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 87 (рис. 263)

Рис. 263.

Решение. Так как BD = 6, АС = 12, то PD = 3; CP = 6 (см. рис.).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 87 (рис. 263)

Из ?O1CD по теореме косинусов имеем:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 87 (рис. 263)

Ответ: 15/2 см.

Задача 88 (рис. 264)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 88 (рис. 264)

Рис. 264.

Решение. Пусть О – центр вписанной в треугольник окружности; ОМ, ОТ, ОР – радиусы, проведённые к точкам касания. Так как АС = 6, то МС = PC = 3, ВР = ВТ = 10 – 3 = 7. ?ТВР подобен ?ABC и TP/AC = BP/BC; TP/6 = 7/10; TP = 42/10 = 4,2.

Ответ: 4,2 см.

Задача 89 (рис. 265)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 89 (рис. 265)

Рис. 265.

Решение. Пусть радиус большого круга равен R, радиус малого круга r (см. рис.) ОС = r; OB = R.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 89 (рис. 265)

Ответ:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 89 (рис. 265)

Задача 90 (рис. 266)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 90 (рис. 266)

Рис. 266.

Решение. Т. к. ?ABC – равносторонний, то.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 90 (рис. 266)

Радиус окружности.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 90 (рис. 266)

Поэтому получаем.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 90 (рис. 266)

Ответ: 3.

Задача 91 (рис. 267)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 91 (рис. 267)

Рис. 267.

Решение. Пусть точка О – центр окружности и r – её радиус. Соединим точки В и С с центром О и проведём диаметр АК. Так как вписанный угол ВАС опирается на дугу ВКС и его величина равна ?/6, то центральный угол ВОС, опирающийся на ту же дугу, имеет величину, равную ?/3. Так как хорды АВ и АС имеют одинаковые длины, то ?BOA = ?АОС. Поскольку ?BOA + ?АОС = 2? – ?/3, то отсюда получаем, что ?BOA = ?АОС = 5?/6. Теперь подсчитаем площадь SABKC той части круга, которая заключена в угле ВАС. Она равна сумме площадей сектора ОВКС и треугольников АОВ и АОС (заметим, что у этих треугольников ОА = ОВ = ОС = r):

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 91 (рис. 267)

Ответ:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 91 (рис. 267)

§ 2. Решения и ответы к задачам § 2 главы 2

Задача 94 (рис. 268)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 94 (рис. 268)

Рис. 268.

Решение. Решение задачи непосредственно видно из чертежа. Соединив центр окружности с вершинами треугольника и с точками касания, получим три пары равных треугольников. Периметр Р = 7 + 7 + 6 = 20.

Ответ: Р = 20 см.

Задача 95 (рис. 269, 270)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 95 (рис. 269, 270)

Рис. 269.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 95 (рис. 269, 270)

Рис. 270.

Решение. Опять соединим центр окружности с вершинами трапеции и с точками касания; получим четыре пары равных треугольников. Из рис. 269 легко видеть, что АВ = CD = 13; ВС = 8; AD = 18.

Теперь мы знаем все стороны трапеции. Осталось найти её высоту. Для этого исходный рисунок представим ниже в следующем виде. Проведём высоты ВК и СМ. Тогда КМ = ВС = 8, АК = MD = (18 – 8)/2 = 5 (рис. 270).

Из прямоугольного треугольника АВК по теореме Пифагора:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 95 (рис. 269, 270)

Ответ: 156 см2.

Задача 96 (рис. 271)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 96 (рис. 271)

Рис. 271.

Решение. Обозначим через А вершину прямого угла данного треугольника, через АВ и АС – катеты треугольника, причем так, что АВ > АС, через О – центр вписанной окружности, через r – ее радиус. Пусть М, N и Р– точки касания этой окружности соответственно со сторонами АС, АВ, ВС. Так как длины отрезков касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны, то BN = ВР, СМ = СР, AN = AM. Так как АВ > АС, то из этих равенств следует, что ВР > СР и, значит, СР: ВР = 2:3. Пусть СР = 2х; тогда ВР = Зх и ВС = 5х.

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому ОМ ? AC, ON ? АВ. Так как угол А – прямой, то ANOM – прямоугольник, и AM = ON = r, AN = ОМ = r. Теперь находим, что АВ = r + Зх, АС = r + 2х. Периметр треугольника равен 36 см, поэтому:

5х + (r + 2х) + (r + Зх) = 36; (1)

С другой стороны, по теореме Пифагора:

(r + 2х)2+ (r + Зх)2= 25х2(2)

Из уравнения (1) следует, что r = 18 – 5х; подставив полученное выражение для r в уравнение (2), после упрощений получаем уравнение х2– 15х – 54 = 0, имеющее единственный положительный корень х = 3. Тогда r = 3 см и АВ = 12 см, АС = 9 см, ВС = 15 см.

Ответ: стороны треугольника равны 9 см, 12 см, 15 см.

Задача 99 (рис. 272)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 99 (рис. 272)

Рис. 272.

Решение. Так как ?BCD = 60°, то ?D = 120°. ?CND = ?BCN = ?NCD = 30°. Значит, ?NCD – равнобедренный и ND = CD = а.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 99 (рис. 272)

Ответ:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 99 (рис. 272)

Задача 100 (рис. 273)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 100 (рис. 273)

Рис. 273.

Решение. Так как ?А = 60°, то ?ABC = 120°. Из чертежа видно, что ? + 3? = 120°; ? = 30°, тогда ?BDA = 90°. AD = АВ ? sin 30° = AB/2. Пусть AD = а; тогда АВ = 2а. Из условия следует, что а + 2а + а + 2а = 90; 6а = 90; а = 15. Следовательно AD = BC = 15 см, AB = CD = 30 см.

Ответ: 15 см, 30 см, 15 см, 30 см.

Задача 101 (рис. 274)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 101 (рис. 274)

Рис. 274.

Решение. ?AFB = ?FBC, как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых. Но ?FBC = ?ABF по условию, значит, ?ABF – равнобедренный и AF = АВ = 12. Пусть AF = Ча, тогда по условию FD = За; Ча = 12; а = 3; AD = 7 ? а = 21. Искомый периметр PABCD = (12 + 21) ? 2 = 66.

Ответ: 66.

Задача 105 (рис. 275)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 105 (рис. 275)

Рис. 275.

Решение. Проведём MP||СК, тогда по теореме о пропорциональных отрезках ВР: РК = ВМ: МС = 3; значит, КР = 1/4 КВ = 1/4 АК и КР: АК = ОМ: АО = 1:4 и АО = ЧОМ = 4/5 AM. По условию АК = КВ = 1/2 АВ.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 105 (рис. 275)

Ответ: 3/10.

Задача 106 (рис. 276)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 106 (рис. 276)

Рис. 276.

Решение. Чтобы найти отношение СК/КМ, применим теорему Менелая к треугольнику АСМ и секущей BN. Получим: CK/KM ? MB/BA ? AN/NC = 1. Так как MB/BA = 2/3, AN/NC = 2, то CK/KM = 3/4.

Аналогично, применив теорему Менелая к треугольнику ABN и секущей СМ, находим BK/KN ? CN/AC ? AM/MB = BK/KN ? 1/3 ? 1/2 = 1, откуда BK/KN = 6.

Ответ: 6; 3/4.

Задача 109 (рис. 277)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 109 (рис. 277)

Рис. 277.

Решение. Так как АМ = 2, то по свойству биссектрисы в треугольнике АВМ ВО/OM = АВ/AM = 6/2 = 3.

Ответ: 3.

Задача 110 (рис. 278)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 110 (рис. 278)

Рис. 278.

Решение. Пусть ВМ – медиана, а ВН – высота в треугольнике. Обозначим ВН через н, МС через 2х. Так как ВН – одновременно биссектриса и высота в треугольнике АВМ, то данный треугольник – равнобедренный и АН = НМ = х, AB = BM = 10. Так как ВМ – биссектриса ?НВС, то BH/BC = HM/MC; н/BC = х/2x; BC = 2h.

Из ?НВМ и ?НВС по теореме Пифагора:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 110 (рис. 278)

AC = 4x = 20; ВС = 2h = 10?3. Кстати, легко показать, что ?ABC = 90°.

Ответ: 10 см; 20 см; 10?3 см.

Задача 118 (рис. 279)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 118 (рис. 279)

Рис. 279.

Решение. Пусть АС = а; АВ = ВС = в, BF = у, EF = х. ?ADE ?EFC, поэтому FC/DE = FE/DA; (в – у)/у = х/(в – х); b2= by – bx + xy = xy. Отсюда х + у = в; PDBFE = 2(х + у) = 2b, т. е. периметр параллелограмма не зависит от х и у, а зависит только от длины боковой стороны треугольника, другими словами, для данного треугольника периметр вписанного в него параллелограмма есть величина постоянная.

Задача 119 (рис. 280)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 119 (рис. 280)

Рис. 280.

Решение. Так как СЕ = 4, то BE = 11. Из ?ABC по теореме Пифагора:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 119 (рис. 280)

Пусть CD = х. Из подобия ?DCE и ?АСВ CE/AC = CD/CB; 4/12 = х/15; х = 5.

Ответ: 5.

Задача 120 (рис. 281)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 120 (рис. 281)

Рис. 281.

Решение. Пусть BD = х, DE = а. Из подобия ?BDE и ?ВАС BD/BE = BA/BC; х/30 = (х + а)/70; 7х = Зх + 3a; х = 3/4a. Заметим, что ADEF – квадрат, т. е. DE = EF = AF = DA = а.

Из ?DBE по теореме Пифагора BD2+ DE2= BE2; х2+ а2= 900; 9а2/16 + a2 = 900; 25а2/16 = 900; а = 24; х = 3/4 ? 24 = 18.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 120 (рис. 281)

Ответ: 42 см; 56 см.

Задача 121 (рис. 282)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 121 (рис. 282)

Рис. 282.

Решение. Пусть AD = х. ?BOF ?AOD по равенству трёх углов, поэтому AD/BF = OD/OB; AD/4 = 18/6; AD = 12.

Ответ: 12.

Задача 122 (рис. 283)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 122 (рис. 283)

Рис. 283.

Решение. Обозначим радиус большей окружности через х. Из рисунка видно, что из прямоугольного треугольника ОКА ОА = AK/sin 30° = 1/(1/2) = 2. Треугольники OAK и ОВМ подобны, поэтому ОА/OB = АК/BM; 2/(3 + х) = 1/х; 2х = 3 + х; х = 3.

Ответ: 3.

Задача 123 (рис. 284)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 123 (рис. 284)

Рис. 284.

Решение. Обозначим сторону квадрата GDEF через х и проведем высоту ВН. ?ВКЕ подобен ?ВНС (см. рис.), значит, BK/KE = BH/HC; (BH – х)/(х/2) = BH/(а/2);

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 123 (рис. 284)Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 123 (рис. 284)

Ответ:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 123 (рис. 284)

Задача 124 (рис. 285)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 124 (рис. 285)

Рис. 285.

Решение. Пусть ВР = а; PR = в; RD = с. ?ВРМ ?APD, значит, ВР/PD = ВМ/AD = 1/2; отсюда в + с = 2а. Аналогично ?RND ?BRA; RD/BR = ND/AB = 1/2; а + в = 2c.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 124 (рис. 285)

Вычитаем из первого уравнения второе: с – а = 2а – 2с; с = а; а + в = 2с = 2а; а = в.

Ответ: а = в = с, что и требовалось доказать.

Задача 125

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 125.

Рис. 286.

Решение. ?РВС подобен ?PAD, поэтому РВ/PD = BC/AD = в/а, PB = PD ? в/а. ?PMD подобен ?BCD, значит РМ/BC = PD/BD;

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 125.

Ответ: 2ab/(а + в).

Задача 126 (рис. 287)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 126 (рис. 287)

Рис. 287.

Решение. Из прямоугольных треугольников АВР, BCQ находим ВР/AB = cos В, BQ/BC = cos В. Из этих равенств следует, что треугольники BPQ и ABC подобны (по двум сторонам и углу между ними), причём коэффициент подобия равен cos В. Так как отношение площадей подобных многоугольников равно квадрату коэффициента подобия, то.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 126 (рис. 287)

По условию треугольник ABC остроугольный, значит, cos В > 0 и, следовательно, cos В = 1/3. Из подобия треугольников ABC и BPQ вытекает равенство.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 126 (рис. 287)

Обозначим через R радиус окружности, описанной вокруг треугольника ABC. По теореме синусов:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 126 (рис. 287)

откуда R = 9/2.

Ответ: R = 9/2.

Задача 129 (рис. 288)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 129 (рис. 288)

Рис. 288.

Решение. Соединим центр окружности О с вершинами четырёхугольника и точками касания. Перед нами четыре пары равных треугольников: ?АОК = ?AON. ?ВОК = ?BOL, ?COL = ?COM, ?DOM = ?DON. Тогда ?АОК = ?AON, ?ВОК = ?BOL, ?COL = ?COM, ?DOM = ?DON. Из рисунка видно, что 2? + 2? + 2? + 2? = 360°, ? + ? + ? + ? = 180°. ?АОВ + ?COD = ? + ? + ? + ? = 180°.

Ответ: 180°.

Задача 130 (рис. 289)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 130 (рис. 289)

Рис. 289.

Решение. Так как в трапецию можно вписать окружность, то АВ + CD = AD + ВС. Если АВ = н; AD = а; BC = в, то CD = а + в – н, KD = а – в. Из треугольника KCD следует, что KD2+ CK2= CD2; (а – b2) + h2= (а + в – h2). Имеем: a2 – 2ab + b2+ h2= a2+ b2+ h2+ 2ab – 2ah – 2bh; -2ab = 2ab – 2ah – 2bh; ah + bh = 2ab; н = 2ab/(а + в). н – диаметр окружности.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 130 (рис. 289)

Ответ:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 130 (рис. 289)

Задача 131 (рис. 290)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 131 (рис. 290)

Рис. 290.

Решение. Пусть ABCD – данная трапеция, АВ = 5, CD = 3, KL – средняя линия. Обозначим величины отрезков ВС и AD через х и у соответственно. Так как в четырёхугольник ABCD можно вписать окружность, то х + у = ВС + AD = АВ + CD = 8. Поскольку KL – средняя линия трапеции, то KL = (BC + AD)/2 = 4. Если н – высота трапеции ABCD, то из теоремы о пропорциональных отрезках, отсекаемых параллельными прямыми, следует, что высоты трапеций KBCL и AKLD равны н/2. Для площадей этих трапеций имеем.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 131 (рис. 290)

По условию.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 131 (рис. 290)

После упрощений получаем уравнение 11x – 5у = -24. Система уравнений.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 131 (рис. 290)

имеет единственное решение х = 1, у = 7.

Ответ: BC = 1, AD = 7.

Задача 135 (рис. 291)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 135 (рис. 291)

Рис. 291.

Решение. По теореме о величине вписанного в окружность угла ?ABC = 1/2 ?АОС. Заметим, что ?АОС = ?MON, а уrол ?МОN опирается на диаметр MN окружности с центром О1. ?АОС = 90°, и значит 1/2 ?АОС = 1/2 90° = 45°.

Ответ: 45°

Задача 136 (рис. 292)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 136 (рис. 292)

Рис. 292.

Решение. Пусть точка А делит хорду ВС на отрезки 5 и 4. Проведём через точки А и О (центр окружности) диаметр ED, причём ED = 2R = 12. Обозначим AD через х, тогда ОА = 6 – х (см. рис.). ?DCA = ?АЕВ (опираются на одну и ту же дугу BD), ?ADC подобен ?ВЕА (по двум углам), значит, AD/AB = AC/AE; х/5 = 4/(12 – х); 12х – х2= 20; х2 – 12х + 20 = 0; х = 10 или 2. Учитывая, что х ? R, получим х = AD = 2.

Ответ: 2.

Задача 137

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 137.

Рис. 293.

Решение I (рис. 293). Обозначим точки пересечения окружности лучами р и q соответственно через С, А и Е, В. Проведём CD||ЕВ. Получим угол ?ACD = х. Угол ?ACD является вписанным в окружность и по определению равен половине дуги AD. По условию задачи дуга СЕ = ?, а дуга АВ равна ?. Тогда дуга AD = ? – ?. В таком случае х = 1/2 (? – ?).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 137.

Рис. 294.

Решение II (рис. 294). Обозначим точки пересечения окружности прямыми р и q соответственно через А, Е и D, С. Проведём EF||CD. Угол AEF будет равен х (как внутренние накрест лежащие углы при параллельных CD, FE и секушей АЕ). ?AEF является вписанным в окружность и равен половине дуги AF. Из условия задачи и построений следует, что дуга AF = ? + ?.

Следовательно,

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 137.

Задача 138 (рис. 295)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 138 (рис. 295)

Рис. 295.

Решение. Так как BD – диаметр окружности, то ?BAD = ?BCD = ?/2. Обозначим ?ABD через х, тогда из прямоугольного треугольника ABD получаем, что cos х = AB/BD. По условию BD = 2, АВ = 1, значит, cos х = 1/2, и так как х – внутренний угол прямоугольного треугольника ABD, то х = ?/3. Тогда ?DBC = 3/4 (?ABD) = 3/4 ? ?/3 = ?/4. Вписанные углы ACD и ABD опираются на одну и ту же дугу AED, значит, ?ACD = ?ABD = ?/3. Из треугольника ADC по теореме синусов получаем, что.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 138 (рис. 295)Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 138 (рис. 295)

Ответ:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 138 (рис. 295)

Задача 141

Решение. OB = 4; ВС = 3, значит ОС = 7. OB ? ОС = ОА2; 4 ? 7 = OA2; OA = 2?7.

Ответ: 2?7.

Задача 146 (рис. 296)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 146 (рис. 296)

Рис. 296.

Решение. Достроим ?ABD до параллелограмма. Тогда АС < АВ + ВС, но АС = 2AM, 2AM < АВ + ВС = АВ + AD, что и требовалось доказать. Заметим, что AM является медианой ?ABD.

Задача 147 (рис. 297)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 147 (рис. 297)

Рис. 297.

Решение. Достаточно построить симметричные точки относительно берегов и длина полученной ломаной равна длине прямолинейного отрезка А'В', т. е. минимальна.

Задача 148 (рис. 298)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 148 (рис. 298)

Рис. 298.

Решение. Так как средняя линия трапеции ABCD равна 4, то сумма оснований равна 8. Воспользуемся тем, что середины оснований и точка пересечения боковых сторон трапеции лежат на одной прямой КМ. Из ?AKD ?AKD = 90°. Заметим, что ?AKD – прямоугольный, причем AD – гипотенуза и точкой М делится пополам. Но тогда AM = MD = КМ = 4 – х (радиусы описанной около ?AKD окружности), КЕ = 3 – х, где х – это длина отрезков BE и ЕС. Из подобия ?АКМ и ?ВКЕ следует: (4 – х)/х = (4 – х)/(3 – х); х = 3/2; BC = 3, AD = 5.

Ответ: 5 и 3.

Задача 154 (рис. 299)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 154 (рис. 299)

Рис. 299.

Решение. Пусть D – проекция точки F на прямую d. Середину О отрезка DF примем за начало прямоугольной системы координат, а прямую OF – за ось ординат. Точке F отнесём координаты (0; 1). Прямая d будет иметь уравнение у = -1. Пусть М(х; у) – произвольная точка плоскости. Тогда.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 154 (рис. 299)

и MN = |у + 1 |, где MN – расстояние от точки М до прямой d. Если.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 154 (рис. 299)

Возведя обе части в квадрат, получим уравнение у = 1/4x2.

Обратно, если координаты точки М удовлетворяют этому уравнению, то х2= Чу и, следовательно,

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 154 (рис. 299)

Заметим, что если вместо DF = 2 положить DF = р, то получим уравнение х2= 2ру.

Из школьного курса алгебры известно, что линия, определяемая уравнением у = ах2, называется параболой.

Задача 155 (рис. 300)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 155 (рис. 300)

Рис. 300.

Решение. Переведём условие задачи на векторный язык. Поскольку точки Р, А, D так же, как и точки Р, В, С, лежат на одной прямой, то PD = аРА, PC = ьРВ, где а и в – коэффициенты пропорциональности, а > 0; в > 0. Точки М и N – середины отрезков АВ и CD. Следовательно,

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 155 (рис. 300)

Учитывая приведённые выше равенства, получаем: PN = 1/2(аРА + ьРВ). Согласно условию задачи, векторы РМ и PN коллинеарны. Следовательно, найдётся такое число ?, что.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 155 (рис. 300)

откуда (а – ?)РА + (в – ?)РВ = 0. На основании единственности разложения вектора по неколлинеарным векторам РА и РВ заключаем, что а = в = ?. Таким образом, PD = аРА и PC = аРВ. Вычитая из первого равенства второе, получаем CD = аВА. Значит, стороны CD и АВ параллельны, т. е. ABCD – трапеция.

Задача 156 (рис. 301)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 156 (рис. 301)

Рис. 301.

Решение. Высота равнобедренного треугольника является его осью симметрии. Поэтому середину D основания АВ треугольника ABC удобно принять за начало прямоугольной системы координат, а направленные прямые АВ и DC – за оси координат. Тогда вершинам треугольника можно отнести координаты: А(-1; 0), В(1; 0), С(0; с).

Вычислим угловые коэффициенты прямых АЕ и СМ. Для этого сначала найдём координаты точек Е и М. Запишем уравнение прямой ВС: х + у/с = 1 или у = – сх + с.

Так как DE ? ВС, то угловой коэффициент прямой DE равен 1/с, а её уравнение есть у = (1/с)х. Решая систему уравнений.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 156 (рис. 301)

находим координаты точки Е:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 156 (рис. 301)

Следовательно, М (х1/2; у1/2).

Угловые коэффициенты прямых АЕ и СМ равны соответственно.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 156 (рис. 301)

Подставив значения x1 и у1 получим:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 156 (рис. 301)

k1k2 = -1, что говорит о перпендикулярности прямых. Значит, отрезки АЕ и СМ перпендикулярны.

Задача 157

Решение. Имеем (PA + РВ + PC)2? 0, причем равенство достигается только тогда, когда Р – центроид треугольника ABC. Отсюда.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 157.

Но.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 157.Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 157.

Тогда.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 157.Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 157.

Подставив эти значения скалярных произведений в неравенство (1), получим:

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 157.

Задача 163 (рис. 302)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 163 (рис. 302)

Рис. 302.

Решение. Пусть ЕК = КМ = MF = а. ЕК – средняя линия в ?ABC, значит, ВС = 2а. ЕМ – средняя линия в ?ABD, поэтому AD = 2ЕМ = 2 ? 2а = Ча; AD/BC = Ча/2а =2.

Ответ: 2:1.

Задача 164 (рис. 303)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 164 (рис. 303)

Рис. 303.

Решение. NK и MP – средние линии в ?BCD и ?ABD, поэтому NK||BD и MP||BD; MP = 1/2 BD и NK = 1/2 BD. Значит, MP||NK и MP = NK. Аналогично MN||PK (||AC) и MN = PK = 1/2 AC. Так как трапеция равнобедренная, то АС = BD, значит MN = NK = КР = РМ. Параллелограмм MNKP – ромб.

Задача 165 (рис. 304)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 165 (рис. 304)

Рис. 304.

Решение. Очевидно, что MNPQ – параллелограмм. ?BAD + ?ABC = 180°. Так как AM и ВМ – биссектрисы, то ?ВАМ + ?АВМ = 90°, значит, ?АМВ = 90° и ?NMQ = 90°. Таким образом, MNPQ – прямоугольник.

Задача 166 (рис. 305)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 166 (рис. 305)

Рис. 305.

Решение. SABCD = 1/2 BD ? AC ? sin ? = S. Sпараллелограмма = ab sin ? = BD ? AC ? sin ? = 2S.

Ответ: 2S.

Задача 167 (рис. 306)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 167 (рис. 306)

Рис. 306.

Решение. Обозначим точку на диагонали, о которой идет речь в условии задачи, через О. Так как ?ABC = ?ACD, то равны и высоты ВР и DM этих треугольников. ОК = ОС ? sin ?; ОТ = ОС ? sin ? (см. рис).

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 167 (рис. 306)

что и требовалось доказать.

Задача 168 (рис. 307)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Задача 168 (рис. 307)

Рис. 307.

Решение. Пусть ABCD – данный в условии задачи четырёхугольник. Обозначим через Е, К, F, N середины сторон АВ, ВС, CD и AD соответственно. Тогда EN – средняя линия треугольника ABD, и, значит, EN||BD. Аналогично доказывается, что KF||BD, ЕК||АС и NF||АС. Это означает, что EN||KF и ЕК||NF, т. е. четырёхугольник NEKF – параллелограмм. По свойству параллелограмма ЕК = NF. EN = KF, и по условию EF = NK. Отсюда следует, что четырёхугольник NEFK – прямоугольник. Ранее доказано, что EN|| BD и ЕК||АС, поэтому BD ? AC. SABCD = 1/2 ? AC ? BD ? sin90° = 1/2 ? 2 ? 1 ? 1 = 1.

Ответ: 1 м2.

§ 3. Ответы к задачам экзаменационных комплектов

Ответы и указания к задачам экзаменационного комплекта № 1

Билет № 1.

3) 74°.

4) ?1/?2 = R2/R1.

Билет № 2.

3) 94 см.

4) AB + BD + DC = 14 см.

Билет № 3.

3) 12? см2.

4) Воспользоваться тем, что две крайние части средней линии трапеции равны половине верхнего основания.

Билет № 4.

3) 4 и 6 см.

4) Если В1К1С – точки касания (К – точка касания окружностей), О1, О2 – центры окружностей, то сначала доказываем, что ?АО1К = ?АКО2, а затем, что ?ВАО1 = ?АО2С.

Билет № 5.

3) 5 см (воспользоваться подобием ?DCE и ?АСЕ).

4) Воспользоваться теоремой Фалеса.

Билет № 6.

3) Воспользуйтесь свойством параллельных прямых.

4) Учесть то, что треугольник разбивается на прямоугольник и два равнобедренных треугольника (значит, сторона прямоугольника равна катету малого треугольника). Периметр равен сумме катетов.

Билет № 7.

3) 12 см (?BOF ?AOD).

4) Докажите, что расстояния от точки пересечения диагоналей до сторон ромба равны.

Билет № 8.

3) Докажите равенство углов DBA и ACF и воспользуйтесь признаком параллельности прямых.

4) Выразите по теореме Пифагора квадрат каждой стороны четырёхугольника через соответствующие отрезки диагоналей.

Билет № 9.

3) 68°, 68° и 44°.

4) 4?3 см и 6?2 см.

Билет № 10.

3) 4 (т. к. 180° (n – 2) = 360°).

4) Если АС = а, то AD = а/2, АВ = 2а, DB = 3a/2.

Билет № 11.

3) 56 см.

4) В равностороннем треугольнике биссектрисы и медианы совпадают; воспользуйтесь свойством точки пересечения медиан.

Билет № 12.

3) 66° и 66°.

4) По 60°.

Билет № 13.

3) 8, 6 и 6 см.

4) 60° (угол DOG, больший 180°, равен 2 ? 150° = 300°).

Билет № 14.

3) 13 см.

4) Стороны равностороннего треугольника – по 12 см, а равнобедренного – 12, 14 и 14 см.

Билет № 15.

3) Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.

4)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Ответы и указания к задачам экзаменационного комплекта № 1. Билет № 15

Билет № 16.

3) Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.

4) 1:1:?3.

Билет № 17.

3) 5 см (обозначьте АВ = ВС = а; AD = DC = в, BD = х и запишите систему уравнений).

4) 12 и 8 см (докажите равенство ?AMP и ?PNC, из которого следует, что АР = 12).

Билет № 18.

3) 67°.

4) Воспользуйтесь тем, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, с ним не смежных.

Билет № 19.

3) 25/2 см2.

4) 5 (т. к. сумма внешних углов равна 360°, то угол в правильном многоугольнике равен 468° – 360° = 108°. Далее: 180°(n – 2)/n = 108°; n = 5).

Билет № 20.

3) Пусть АВ – общая хорда двух окружностей с центрами О1 и O2, ?О1АО2 = ?О1ВО2 (по трем сторонам), значит, углы АО2О1 и O1O2B равны, а биссектриса в равнобедренном треугольнике является и высотой.

4) 16 (т. к. в трапецию вписана окружность, то сумма оснований – а она равна 8 – равна сумме боковых сторон).

Билет № 21.

3) Увеличивается на 20? см.

4) Проведите диагонали в трапеции, рассмотрите средние линии полученных треугольников и учтите равенство боковых сторон трапеции.

Билет № 22.

3) С(0; -6).

4) 20 см.

Билет № 23.

3) Медиана в равнобедренном треугольнике является и серединным перпендикуляром.

4) Окружность (середины равных хорд окружности равноудалены от центра окружности).

Ответы и указания к задачам экзаменационного комплекта № 2

Билет № 1.

3) 37,9 дм.

4)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Ответы и указания к задачам экзаменационного комплекта № 2. Билет № 1

5) 12 см.

Билет № 2.

3) 12 и 8 см.

4) а) 6 см; б) 8 см; нет.

5) К (18, 12).

Билет № 3.

3)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Ответы и указания к задачам экзаменационного комплекта № 2. Билет № 3

4) б) 80° и 100°.

5) Докажите равенство ?AFC и ?АМС.

Билет № 4.

3) 41° и 49°.

4) а) угол D = 30°, угол CAD = 15°; б)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Ответы и указания к задачам экзаменационного комплекта № 2. Билет № 4

5) 210 см2.

Билет № 5.

3) 4 и 3 см (воспользуйтесь свойством биссектрисы).

4) 6 см.

5) Уменьшится в 21 раз.

Билет № 6.

3) Получится равная трапеция.

4) 25?2 см2.

5) Докажите равенство ?АОВ и ?EOD.

Билет № 7.

3) 53° (ВС параллельна AD).

4) х = 2; у = -0,5;z = -1.

5)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Ответы и указания к задачам экзаменационного комплекта № 2. Билет № 7

(пусть.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Ответы и указания к задачам экзаменационного комплекта № 2. Билет № 7

далее для нахождения ЕО и OF воспользуйтесь теоремой синусов).

Билет № 8.

3)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Ответы и указания к задачам экзаменационного комплекта № 2. Билет № 8

4) 60 см2.

5) 15° (?АВР – равнобедренный, а т. к. угол В равен 50°, то угол PAC = 65° – 50° = 15°).

Билет № 9.

3) Да.

4) (9 + 3?3) см.

5) 60° (угол ВАО равен углу СВО и пусть он равен ?;

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Ответы и указания к задачам экзаменационного комплекта № 2. Билет № 9

и угол ВОС равен 180° – 60° – 60° = 60°).

Билет № 10.

з) ?3.

4) ?7 см.

5) 10/?7 = (по теореме косинусов третья сторона равна ?21, значит.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Ответы и указания к задачам экзаменационного комплекта № 2. Билет № 10

и т. д.).

Билет № 11.

3) 32° (СО – часть высоты).

4) 15 и 24 м.

5) Докажите, что ?MDP = ?NBK, ?ANM = ?КСР и воспользуйтесь признаком параллелограмма).

Билет № 12.

3) 73°.

4) 30?2 см2.

5)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Ответы и указания к задачам экзаменационного комплекта № 2. Билет № 12

Билет № 13.

3) 40?3 см2.

4) Нет, т. к. треугольника со сторонами 1, 4 и 5 не существует (сумма двух любых сторон треугольника всегда больше третьей стороны).

5) 5 см (достройте трапецию до правильного шестиугольника).

Билет № 14.

3) Да (к = 2).

4) 4?3 + 6.

5) 62°, 49°, 69°.

Билет № 15.

3) 43°.

4) DE = 96/5 м (проще всего заметить, что ?ADE ?ABC).

5) 22 см.

Билет № 16.

3) 12; 12?3; 24 см.

4) а) равенство следует из подобия треугольников ВНС и DCP.

б) 4/5.

5) Проведите из центра квадрата прямые, параллельные сторонам квадрата и найдите равные треугольники.

Билет № 17.

3)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Ответы и указания к задачам экзаменационного комплекта № 2. Билет № 17

4) а) МТ и РК параллельны, а MP и КТ – нет; б) да.

5) 110° и 70°.

Билет № 18.

3) Угол DBC равен 17°, угол ABC равен 34°, АС = 18 см.

4) а) 0; б) – 2 (угол между векторами 120°).

5) 2, 3, 4, 5 или 6 см.

Ответы к задачам экзаменационного комплекта № 3

Билет № 1.

3) ?3a2/4 (задача 99; см. решение на стр. 155).

4) 84° (задача 133).

Билет № 2.

3) 3(?2–1) (задача 72; см. решение на стр. 149).

4) 100 (задача 48; см. решение на стр. 144).

Билет № 3.

3) 5 (задача 75).

4) (задача 167; см. решение на стр.167).

Билет № 4.

3)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Ответы к задачам экзаменационного комплекта № 3. Билет № 4

(задача 140).

4) 6 (задача 103).

Билет № 5.

3) 12 и 4 (задача 53; см. решение на стр. 145).

4) 2 (задача 136; см. решение на стр.162).

Билет № 6.

3) 3/2 (задача 81).

4)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Ответы к задачам экзаменационного комплекта № 3. Билет № 6

(задача 123; см. решение на стр.158).

Билет № 7.

3) 12 (задача 45; см. решение на стр. 142).

4) 16 см (задача 68).

Билет № 8.

3) 6 (задача 20).

4) 2:3 (задача 151).

Билет № 9.

3) 5 (задача 119; см. решение на стр. 157).

4)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Ответы к задачам экзаменационного комплекта № 3. Билет № 9

(задача 83).

Билет № 10.

3) 1 (задача 12; см. решение на стр. 133).

4) 85?/4 (задача 20).

Билет № 11.

3) 15/2 см (задача 87; см. решение на стр. 151).

4) 150 (задача 57).

Билет № 12.

3) 13, 14 и 15 (задача 93).

4) 96; 156 (задача 55; см. решение на стр. 145).

Билет № 13.

3) (задача 164; см. решение на стр. 166).

4) 10; 20; 10?3 см.

Билет № 14.

3) 9 см (задача 116).

4) 30°, 60° (задача 33; см. решение на стр.139).

Билет № 15.

3) 20/3 см (задача 21).

4) 3 (задача 82).

Билет № 16.

3)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Ответы к задачам экзаменационного комплекта № 3. Билет № 16

(задача 150).

4) 4?3 (задача 52).

Билет № 17.

3) 15 и 5 (задача 39).

4) cos В (задача 114).

Билет № 18.

3) 24 (задача 127).

4) 6?3 (задача 115).

Билет № 19.

3) 7 (задача 54; см. решение на стр. 145).

4) 25? см2(задача 28).

Билет № 20.

3) 8 и 15 см (задача 92).

4) 156 см2(задача 95; см. решение на стр. 153).

Ответы к задачам экзаменационного комплекта № 4

Билет № 1.

4) R = 9/2 (задача 126; см. решение на стр. 159).

5) 3/4 аь (задача 144).

Билет № 2.

4)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Ответы к задачам экзаменационного комплекта № 4. Билет № 2

(задача 6).

5) 13/4 (задача 153).

Билет № 3.

4)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Ответы к задачам экзаменационного комплекта № 4. Билет № 3

(задача 8).

5)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Ответы к задачам экзаменационного комплекта № 4. Билет № 3

(задача 138; см. решение на стр. 162).

Билет № 4.

4) 1/2 b2cos2? ctg ? (задача 29).

5) 1 м2(задача 168; см. решение на стр. 167).

Билет № 5.

4) ВС = 1, AD = 7 (задача 131; см. решение на стр.161).

5) 2/3?145 см (задача 14).

Билет № 6.

4) 4?5 (задача 78; см. решение на стр.135).

5) 7/4 (задача 104).

Билет № 7.

4) 2?13 м (задача 41).

5) 15 (задача 15; см. решение на стр. 135).

Билет № 8.

4)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Ответы к задачам экзаменационного комплекта № 4. Билет № 8

(задача 134).

5) Длина BL больше длины BG (задача 35; см. решение на стр. 140).

Билет № 9.

4) 147/8 (задача 117).

5) (задача 155; см. решение на стр. 164).

Билет № 10.

4)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Ответы к задачам экзаменационного комплекта № 4. Билет № 10

(задача 36; см. решение на стр.141).

5) 27/8 см2(задача 98).

Билет № 11.

4) 10 см (задача 84).

5) (задача 156; см. решение на стр. 165).

Билет № 12.

4) отношение длины АВ к длине АС равно.

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Ответы к задачам экзаменационного комплекта № 4. Билет № 12

при n = 2; равно 1 при n = 3; при остальных n решений нет (задача 9).

5) 72/5 (задача 49; см. решение на стр. 144).

Билет № 13.

4) 10?З см2(задача 42).

5) 9 см, 12 см, 15 см (задача 96; см. решение на стр. 154).

Билет № 14.

4)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Ответы к задачам экзаменационного комплекта № 4. Билет № 14

(задача 91; см. решение на стр. 153).

5) ?7 (задача 145).

Билет № 15.

4) (задача 154; см. решение на стр. 164).

5) Длина стороны квадрата равна 17; точка О лежит внутри квадрата (задача 69).

Билет № 16.

4) (задача 16; см. решение на стр. 136).

5)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Ответы к задачам экзаменационного комплекта № 4. Билет № 16

(задача 66; см. решение на стр. 147).

Билет № 17.

4)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Ответы к задачам экзаменационного комплекта № 4. Билет № 17

(задача 17; см. решение на стр.136).

5) Парабола (задача 154; см. решение на стр. 164).

Билет № 18.

4) (задача 63).

5) 6; 3/4 (задача 106; см. решение на стр. 156).

Билет № 19.

4)

Геометрия: Планиметрия в тезисах и решениях. 9 класс Ответы к задачам экзаменационного комплекта № 4. Билет № 19

(задача 30).

5) 30 см2, 90° (задача 143).

Билет № 20.

4) (задача 162).

5) 5 и 3 (задача 148; см. решение на стр. 164).

Оглавление


Закрыть ... [X]

Разработка урока по теме "Отношение площадей подобных треугольников." Открытка для поздравления с днем полиции

Решение задач на отношение треугольников Решение задач на отношение треугольников Решение задач на отношение треугольников Решение задач на отношение треугольников Решение задач на отношение треугольников Решение задач на отношение треугольников Решение задач на отношение треугольников